7.3 三角函数的性质与图像-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 理解正弦函数的性质， 会求正弦函数 的定义域和值域、 最小正周期、 奇偶性、 单 调区间及函数的零点 . ２. 能正确使用五点法作出正弦函数的 图象 . 要 点 精 析 要点 1 正弦函数的定义域和值域 例 １ 求函数 ｙ＝ ２ｓｉｎｘ＋１ 姨 的定义域 . 分析 本题是利用正弦函数的性质判 断复合函数的定义域， 只需有 ｓｉｎｘ≥- 1 2 即 可 . 在此可以利用前面所学的三角函数线， 也可以利用 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象解决 . 解： 要使函数有意义， 需有 ２ｓｉｎｘ＋１≥ ０ ， 即 ｓｉｎｘ≥- 1 2 ， 解得 ２ｋπ- π 6 ≤ｘ≤２ｋπ＋ 7π 6 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 此函数的定义域是 2kπ- π 6 6 2kπ+ 7π 6 6 （ ｋ∈Ｚ ） . 反思感悟 求三角函数的定义域， 一般是通过解 三角不等式， 借助于三角函数的图象或单 位圆中的三角函数线来确定 . 变式训练 1 求函数 ｙ＝ｌｇｓｉｎα＋ １９２-３α ２ 姨 的定义域 . 例 ２ （ １ ） 求使函数 ｙ＝-２ｓｉｎｘ＋１ 取得 最大值和最小值的自变量 ｘ 的集合， 并写出 其值域； （ ２ ） 求使函数 ｙ＝-ｓｉｎ ２ ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘ＋ 5 4 取 得最大值和最小值的自变量 ｘ 的集合， 并求 出函数的最值 . 解： （ １ ） 当 ｘ＝２ｋπ- π 2 （ ｋ∈Ｚ ） 时， ｙ ｍａｘ ＝ -２× （ -１ ） ＋１＝３ ， 当 ｘ＝２ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ） 时 ， ｙ ｍｉｎ ＝-２×１＋１＝-１ ， ∴ 函数 ｙ＝-２ｓｉｎｘ＋１ 取最大 值时自变量 ｘ 的集合为 ｘ ｘ＝２ｋπ- π 2 （ ｋ∈Ｚ Ｚ * ） ， 取 最 小 值 时 自 变 量 ｘ 的 集 合 为 ｘ ｘ＝２ｋπ+ π 2 （ ｋ∈Ｚ Ｚ * ） ， 其值域为 ［ -１ ， ３ ］ . （ ２ ） 令 ｔ＝ｓｉｎｘ ， 则 -１≤ｔ≤１. ｙ＝-ｔ ２ ＋ 3 姨 ｔ＋ 5 4 ＝- t- 3 姨 2 2 , ２ ＋２. ∴ 当 ｔ ＝ 3 姨 2 时 ， ｙ ｍａｘ ＝２. 此 时 ｓｉｎｘ ＝ 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 32 第七章 三角函数 学 3 姨 2 ， 即 ｘ＝２ｋπ＋ π 3 或 ｘ＝２ｋπ＋ 2π 3 （ ｋ∈Ｚ ） . ∴ 当 ｔ ＝-１ 时 ， ｙ ｍｉｎ ＝ 1 4 - 3 姨 . 此 时 ｓｉｎｘ＝-１ ， 即 ｘ＝２ｋπ＋ 3π 2 （ ｋ∈Ｚ ） . 综上， 使函数 ｙ＝-ｓｉｎ ２ ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘ＋ 5 4 取 得最大值时自变量 ｘ 的集合为 ｘ ｘ＝２ｋπ＋ π 3 3 或 x=２ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈ ∈ Ｚ ， 且最大值为 ２. 使函数 ｙ＝-ｓｉｎ ２ ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘ＋ ５ 4 取得最小 值时自变量 ｘ 的集合为 ｘ ｘ＝２ｋπ＋ 3π 2 ， ｋ∈ ∈ & Ｚ ， 且最小值为 1 4 - 3 姨 . 反思感悟 求含正弦函数的复合函数的值域一般 有以下两种方法： （ １ ） 将所给三角函数转化为二次函数， 通过配方法求值域， 例如转化为 ｙ＝ａ （ ｓｉｎｘ＋ ｂ ） ２ ＋ｃ 型的值域问题 . （ ２ ） 利用 ｓｉｎｘ 的有界性求值域， 如 ｙ＝ ａｓｉｎｘ＋ｂ ， -｜ａ｜＋ｂ≤ｙ≤｜ａ｜＋ｂ. 变式训练 2 求 ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ ２ ｘ＋２ｓｉｎｘ- 1 2 ， ｘ∈ π ６ ， ５π ６ ６ ) 的值域 . 要点 2 三角函数的奇偶性 例 ３ 判断下列函数的奇偶性： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ （ ２π-ｘ ） -ｘ ３ ｓｉｎｘ ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） ＝ １＋ｓｉｎｘ-ｃｏｓ ２ ｘ １＋ｓｉｎｘ . 分析 本题主要考查三角函数的奇偶 性， 先求出或判断函数的定义域， 然后利 用函数奇偶性的定义予以判断 . 解： （ １ ） 函数 ｆ （ ｘ ）的定义域为 Ｒ ， 关 于原点对称， 又 ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓｘ-ｘ ３ ｓｉｎｘ ， ｆ （ -ｘ ） ＝ｃｏｓ （ -ｘ ） - （ -ｘ ） ３ ｓｉｎ （ -ｘ ） ＝ｃｏｓｘ-ｘ ３ ｓｉｎｘ＝ ｆ （ ｘ ）， ∴ｆ （ ｘ ）为偶函数 . （ ２ ） ∵１ ＋ｓｉｎｘ≠０ ， ∴ 函 数 定 义 域 为 ｘ ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠２ｋπ＋ 3π 2 ， ｋ∈Ｚ ∈ & ， ∴ 函数的 定义域不关于原点对称， ∴ 函数既不是奇函 数也不是偶函数 . 反思感悟 （ １ ） 正确判断函数奇偶性的前提是先 看定义域是否关于原点对称 . （ ２ ） 注意奇偶性判定法的变通式和定