广东省中山市桂山中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试卷

第 1页，共 4页 桂山中学 2024 届高三级第一次月考数学试卷 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 若复数�满足�(1 + �) = 2�，则�等于( ) A. 1 + � B. −1+ � C. 1 − � D. −1 + � 2. 设集合� = {�|�2 − 2� − 3 < 0}，� = {�|log2� > 1}，则� ∪ � =( ) A. ( − 1,2) B. ( − 1,3) C. (2,3) D. ( − 1, + ∞) 3. 若等差数列{��}的前�项和为��，且�13 = 0，�3 + �4 = 21，则�7的值为( ) A. 21 B. 63 C. 13 D. 84 4. 设� ∈ �，则“|� − 1| ≤ 1”是“− �2 + 3� ≥ 0”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 5. 函数� � = 2ln �+1�+1 2 的大致图象为 ( ) A. B. C. D. 6. 已知�是抛物线�2 = 2��(� > 0)的焦点，斜率为−2且经过焦点�的直线�交该抛物线于�，�两点，若 |��| = 52，则该抛物线的方程是 ( ) A. �2 = � B. �2 = 2� C. �2 = 4� D. �2 = 6� 7. 已知随机变量� ∼ � 1, �2 ，且� � ≤ 0 = � � ≥ � ，则 � − �� 6 的展开式中常数项为 ( ) A. −240 B. −60 C. 240 D. 60 8. 对任意� ∈ (0, + ∞)，�(��� + 1) − (1 + 1� )ln� > 0恒成立，则实数�的可能取值为( ) A. −1 B. 13 C. 1 � D. 2 � 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9. 已知函数�(�) = ���2(1 + 4�) − �，则下列说法正确的是( ) A. 函数�(�)是偶函数 B. 函数�(�)是奇函数 C. 函数�(�)在( − ∞,0]上为增函数 D. 函数�(�)的值域为[1, + ∞) 第 2页，共 4页 10. 如图，在三棱锥� − ���中，�� = �� = 1，�� = 3，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，且�到平面���的距离 为 1，则下列说法正确的是( ) A.三棱锥� − ���的体积为16 B. ��与��所成角的大小为 60° C. �� ⊥ �� D. 三棱锥� − ���外接球的表面积为 3� 11. 下列命题中，真命题有 ( ) A. 数据 6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的 70%分位数是 8.5 B. 若随机变量� ∼ �(6, 13 )，则�(�) = 4 9 C. 若事件�，�满足 0 < �(�)，�(�) < 1且�(��) = �(�) ⋅ [1 − �(�)]，则�与�独立 D. 若随机变量�～�(2, �2)，�(� > 1) = 0.68，则�(2 ≤ � < 3) = 0.18 12. �是自然对数的底数，�，� ∈ �，已知��� + ln � > �ln � + �，则下列结论一定正确的是 ( ) A. 若� > 0，则�− � > 0 B. 若� > 0，则�� − � > 0 C. 若� < 0，则�+ ln � < 0 D. 若� < 0，则�� + � > 2 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 函数�(�)满足�(1 − ln�) = 1�，则�(2)等于 ． 14. 已知 1 < � < 4，则 �4−�+ 1 �−1的最小值是 ． 15. 已知向量� = (cos�, − 2)，� = (sin�, 1)，且� / ​ /� ，则 tan ( �4 − �)等于 ． 16. 如果两个函数存在零点，分别为�、�，若满足| � − � | < �，则称两个函数互为“�度零点函数”． 若� (�) = ln(� − 2)与� (�) = ��2 − ���互为“2度零点函数”，则实数�的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. (本小题 12.0分) 设{��}是等差数列，�1 =− 10，且�2 + 10，�3 + 8，�4 + 6成等比数列， (1)求{��}的通项公式： (2)记{��}的前�项和为��，求使得�� ≥ ��成立的�的取值范围． 第 3页，共 4页 18. (本小题 12.0分) 已知在△ ���中，角�、�、�对应的边分别为�、�、�，����� + ����� = ����� + �����． (1)求角�； (2)若� = 1，△ ���的面积为 3 4 ，求�．