专题02 函数2 函数的图像（3大重难点详细讲解）-备战2024高考数学重难点及压轴题突破-【自学重难点】

第02讲 函数的图像（3大难点） 难点1：图象识别 在考试中，我们经常会遇到给出确定函数，让我们来判断并选择函数的题，一般以选择题的形式出现，是对学生函数性质综合应用的考查。 函数图象识别问题处理思路： （1）计算函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，单调性，对称性和周期性等； （3）找特殊点，如，和等； （4）选择函数图象。 【例题】（2023·福建·统考模拟预测）函数的图象大数为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 A. C. B. D. 【答案】C 【解析】由题意， 对于函数图像题，我们首先来分析其定义域。 在中，， 判断完定义域后，为了找出正确的函数图像，我们需要找出函数性质，我们发现题目给出四个图象都是对称的，所以我们考虑去求解这个函数的奇偶性和对称性。 ∵， ∴函数是奇函数，A，B错误， 我们对比C，D两图象发现，C选项的图象在前就单调递减，而D选项的图象在后才单调递减，我们需要研究函数是在前单调递减还是在后单调递减，因此我们需要判断函数在的单调性。 当时， ，， ∴， ∴函数在处单调递减， 故选：C. 【方法总结】已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括 等。 【变式训练1】（2023·安徽涂州·安徽省定远中学校考二模）（多选）函数的大致图象可能是 A. C. B. D. 【变式训练2】（2023·四川成都·统考模拟预测）已知函数，则函数的大致图象为 A. C. B. D. 难点2：图像变换 在高考数学中，常常给出具体的函数，让我们进行平移，对称和放缩等变换后，进行相关的计算，图像变换由于其灵活多变，便成为高中阶段考试和高考的重难点。 常见的图像变换的处理方法： （1）平移：左加右减，上加下减， 设，则 向左平移个单位，变为； 向右平移个单位，变为； 向上平移个单位，变为； 向下平移个单位，变为。 如：将向左平移个单位，变为：； 将向上平移个单位，变为：。 （2）对称： ①与关于轴对称； ②与关于轴对称； ③与关于原点对称。 （3）放缩： 设，则 横坐标扩大到原来的倍，变为； 横坐标缩短为原来的，变为； 纵坐标扩大到原来的倍，变为； 纵坐标缩短为原来的，变为。 【例题】（2022·浙江·模拟预测）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意， 我们发现左边图象的纵坐标没有变化，但整个图形变窄了，宽度变成了原来的一半，而且左端点从平移到了，并且图像关于轴对称后得到图像。我们考虑先关于轴对称。 函数关于轴变换后，变为：， 接着我们考虑将图象向右平移1个单位。 函数将图象向右平移1个单位后，变为：， 然后我们考虑将宽度缩短为原来的。 函数宽度缩短为原来的后，变为：， 故选：C. 【变式训练1】（2023.广西玉林.统考模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是 A. B. C. D. 【变式训练2】（2023.上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 难点3：图像的应用 在考试中，不仅注重于一般函数的考查，还注重于分段函数的考查。分段函数往往作为单选和多选题出现，因此我们需要特别重视。 分段函数问题处理思路： （1）化简函数。通过通分，去绝对值，合并同类项等对分段函数进行化简。 （2）分析函数性质。分析分段函数的奇偶性，单调性，周期性和对称性等。 （3）作图。作出函数图象并利用图象解决问题。 【例题】（2022·辽宁沈阳沈阳二十中校考一模）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.下说法正确的是 A. 当时， B. C. 存在，使得 D. 函数的零点个数为10 【答案】AD 【解析】由题意， 我们发现当时，所给函数是分段函数且带绝对值，因此我们需要对函数进行化简，去掉绝对值。 在中，当时，， ∴， 对于A项， 我们发现，当时，，我们知道，此时对应的函数，因而我们将替换为，即可得到函数在上的函数表达式。 当时，， ， 故A正确； 对于B项， 当时， 我们知道为奇数，即，我们来进行验证，当时，，此时函数值为0，并不等于，即可排除该选项。 ， 故B错误； 对于C项， 我们根据化简的函数分析，当时，，即每增加2，函数就变为的，可以知道在处函数取最大值，我们做出函数图象，得出在处函数值为1，不可能为2。 画出函数在的图象， 函数的最大值是1， ∴不存在，使， 故C错误； 对于D项， 在中， 我们要求这个函数的零点，就是求的根，即是求什么时候函数。我们根据C选项画的图可以知道，在上函数取的点有5个。 ∴， 在中， 由