课时跟踪检测(65) 圆锥曲线中的证明、存在性问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/3 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅·正版资源 b2XXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（六十五）圆锥曲线中的证明、存在性问题 1.(2023·广东高三开学考试)已知抛物线C:y2=2p(p>0)的准线上一点E(一1，)，直线 1过抛物线C的焦点F,且与抛物线C交于不同的两点A,B. (1)求抛物线C的方程： (2)设直线EA,EF,EB的斜率分别为k1,,,求证：k1十k=2k2, 解：(1)由题意，知p2=1,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x (2)证明：因为直线1过抛物线C的焦点F(1,0),由题意知，直线1斜率不为0，所以设1 的方程为x=mw十1，A(1,),B,),联立x=y十1，y2=4x,)消去x得y2=4m 十4， 即y2-4my-4=0,所以4=16m2+160,y1+2=4m,y2=-4, 所以k1+k=y1-tx1十1+y2一tx2+1 =x2+1y1-t+x1+1y2-t x1+1 x2+1 =x2y1+x1y2-tx1+x2+y1+y2-2tx1+1 x2+1 =2my1y2+2-tmy1+y2-4tm2y1y2+2my1+y2+4 =-8m+2-tm×4n-4t-4n2+8m2+4=-4tm2-4t4m2+4 =-t×4m2+44m2+4=一t, 因为E(-1,0,F(1,0),所以k2=0-t1--1=-t2, 所以k1十k=2k2: 2.已知点A,B关于坐标原点O对称，4B=4,⊙M过点A,B且与直线x十2=0相 切. (①)若A在直线x十y=0上，求⊙M的半径： (2)是否存在定点P,使得当A运动时，MA一MP为定值？并说明理由. 解：(1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上 由已知A在直线x十y=0上，且A,B关于坐标原点O对称， 所以M在直线y=x上，故可设M(a,a). 因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径为r=a十2孔： 由已知401=2. 又M0上A0,故可得2a2+4=a十2)2，解得a=0或a=4. 故⊙M的半径r=2或r=6. (2)存在定点P1,0),使MA-MP为定值. 理由如下：设Mc,),由已知得⊙M的半径为r=r十2，MO1=2 由于M0⊥AO,故可得x2+y2十4=十2)2，化简得M的轨迹方程为2=4r ◆独家授权侵权必究· 2/3 色学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅·正版资源 b.ZXXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 因为曲线C:y2=4x是以点P1,0)为焦点，以直线x=一1为准线的抛物线， 所以MP=x十1. 因为1MA-MP1=r-MP\=x+2-(x+1)=1, 所以存在满足条件的定点P 3.(2023·广东鹤山鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0)的离心率 e=3)2,且圆x2十2=2过椭圆C的上、下顶点. (①)求椭圆C的方程， (2)若直线1的斜率为12，且直线1与椭圆C相交于P,Q两点，点P关于原点的对称点 为E,点A(一2,1)是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为ke,k40,证明：k起 十k40=0. 解：(1)因为圆x2+y2=2过椭圆C的上、下顶点，所以b=2: 又因为离心率e=3)2,所以ca=a2-b2a2)=b2a2)=3)2,解得a2=8, 所以椭圆的方程为x28十y22=1. (2)证明：由于直线1的斜率为12，可设直线1的方程为y=12x十t: 代入椭圆方程x2+42=8,可得x2+2x十212一4=0， 由于直线1交椭圆C于P,Q两点，所以4=42-4(22一4)>0，解得-2<4<2， 设点P1,Jy),Q(2,),由于点P与点E关于原点对称，故E(一1，一)， 十2=一21，x2=22-4: 因为A(-2,1),所以kE+k40=-y1-1-x1+2+y2-1x2+2=2-x1 y2-1 -2+x2 y1+12+x2 2-x1,=121十1,2=12十1， (2一x)02一1)一(2+x2)0+1)=20一n)-(c2十2)+x1一龙2-4=x2-x1一(c52十 十)十x1一2一4=一xx2一1十)一4=-(22-)一（一2）-4=0，故k4e十k40=0,结论 得证。 4.(2023南京模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),点1,6)2，直线1：y=x+m 与椭圆C交于A,B两点，且线段AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM的斜案为一12. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当m=1时，椭圆C上是否存在P,Q两点，使得P,Q关于直线1对称，若存在， 求出P,Q的坐标，若不存在，请说明理由. 解：(1)设A1,,B,), 则Malvs4alco1fx1+x2r1十22)，即kow=y1+y2x