课时跟踪检测(64) 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/3 多学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅+正版资源 b2ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（六十四圆锥曲线中的最值、范围问题 1.(2023·淮南一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2十y2b2=1(a>b>0)的离心 率e=6)3,椭圆的右焦点到直线x一y十22=0的距离是4. ()求椭圆C的方程； (2)设过椭圆的上顶点A的直线I与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时，求直 线1的方程 解：(1)由已知得，右焦点F(c,0),.2)1r(2)=4,c=22, 又，离心率e=ca=6)3,∴.a=23,b2=a2-c2=4, ∴.椭圆方程为x212十y24=1. (2)当直线1的斜率不存在时AB=4. 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=x十2， 联立y=十2，x2y24)=1,得1+3k)x2+12kx=0, ∴x1=0,=-12k1+3k2,M=1+k2x2-x=1+k2\f(12k1+3k2),令1=1 +3k2t≥1)， ∴.4B12=(1+k②×144k21+3k22=1449-2t2+1t+1=-2889 alvsalcol(f(114)2+18(t1), .当1t=14,即1=4时，AB2取得最大值，即k=±1时，4B2最大为18，即4B最 大为32， ∴.直线1的方程为y=x十2或y=一x十2. 2.如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴一点，抛物线C:y2=4x上存 在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. (I)设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴： (2)若P是半椭圆x2+y24=1<0)上的动点，求△PAB面积的取值范用， 解：()i证明：设Pa,o),AaWs4 alco1(f12.i,B alvs4alcol(f(12).x2. 因为PA,PB的中点在抛物线上， 所以h,2为方程\a1vs4\al\col(f(y+y02)2=4142,即y2-2y+8-y20=0的 两个不同的实数根 所以片十2=2%因此，PM垂直于y轴. (2)(1)可知y1十2=20,2.所以PM川=18021+22）一x=3420-3x,M一2=220) 一4x0 因此，△PAB的面积SAP4B=12PM-M一z=2)4020-4xm)32. ◆独家授权侵权必究 2/3 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 因为x20十24=1(-1<x0<0,所以y20-4=一4x20-4x+4=-4 \a\vs4\alco1(x0+\f(12))2+5∈[4， 因此，△PAB而积的取值范围是61r(2),1f(15r(10)4) 3.(2023苏州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(22,1)，渐近线方程 为y=±12x,直线1是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A,B两点， ()求双曲线C的方程； (2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值 解：(1)由题设可知N(81b2b12),解得a=2,b=1,)则双曲线C的方程为x24-y2=1. (2)设点M的横坐标为x0, 当直线I斜率不存在时，则直线：x=2,易知，点M到y轴的距离为xM=2: 当直线l斜率存在时，设I:y=kx十m\a\vs4\al\col(k≠士f(12),As1,),B (,2), 联立f(x24y=k十m,整理得(42一1)x2+8kmx十4m2+4=0, 4=642m2-16(42-1)0m2+1)=0,整理得42=m2+1, 则x1十x2=一8km4k2-1=一8kmm2=-8km,则xr=x1十x22=一4kP0,即k<0, 则x2M=16k2m2=4+4m24,即xr2. ∴.此时点M到y轴的距离大于2。 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 4.己知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐 标原点 (I)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△FPF2的面积等于16，求b的值和a的取值范 围。 解：(1)连接PF(图略) 由△POF为等边三角形可知，在△FPF2中，∠FPF2=90°，PF=c,PF=3c, 于是2a=PFl+PF=(3+1)e, 故C的离心率为e=ca=3一1. (2)由题意可知，若满足条件的点P,)存在， 则f12x-cg=-1,即cy|=16①，x2+y2=c2②，) 又x2a2+y2b2=1③. 由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2. 又由①知y2=162c2,故b=4. 由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b3,所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32