课时跟踪检测(63) 破解解析几何问题的5大技法（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/3 盈学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（六十三）圆锥曲线中的定点、定值问题 1.(2023·石嘴山模拟)已知F是抛物线C:y2=2pxp>O)的焦点，点Mo,4)在抛物 线上.且1MF1=54xo (1)求抛物线C的标准方程： (2)若A.B是抛物线C上的两个动点.且OA⊥OB.O为坐标原点，求证：线AB过 定点 解：(1)由题意得.IMF=xo十p2=54xo,解得=2p 因为点Mxa4)在抛物线C上，所以42=2p=4p2,解得p2=4. 又p>0,所以p=2,即抛物线C的标准方程为y2=4x (2)证明：设A(x,h).B(为，y2) 因为04LOB.所以一.一=0.即x十h2=0. 因为点A,B在抛物线C上，所以y21=4x1.y22=42.代入得(y1y2)216+y1y2 =0】 因为hy2≠0，所以y1=一16. 设直线AB的方程为x=my+n,联立×=y+n,y2=4x,)得y2-4my-4n=0. 则hy2=-4n.所以n=4. 所以直线AB的方程为x=my十4.过定点(4,0) 2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，且离心率为12. (1)求椭圆C的方程： (2)设过点F(1,0)且斜率为k的直线/与椭圆C交干A,B两点.线段AB的垂直平分线 交x轴干点D.求证：AB‖DF引为定值 解：(1)由题设可得a=2,设椭圆的半焦距为c,则ca=12,故c=1,则b=3,所以 椭圆的方程为x24+y23=1. (2)证明：当k=0时./：y=0.此时1AB=4,而D0,0),故DF=1,故ABDF =4 当k≠0时.直线1的方程为y=k(x一1)，A(X1,),B(X2,2). 由y=k(X-1).3x2+4y2=12.)可得(3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0 此时△=64k4-4(3+4k2)(4k2-12)=144+144k2>0.×1+x22=4k23+4k2.y1 +y22=-3k3+4k2.且AB=1+k2×144+144k2)3+4k2=12(1+k2)3+4k2. AB的中垂线的方程为y=一1 klalvs4al小co1(x-\f4k23+4k2)-3k3+4k2,合 y=0.则x知=k23+4k2.故|D月=1fk23+4k2)-1)=3(1+k2)3+4k2.故 ABIDF=4. 3.(2023·石家庄模拟)已知双曲线C:X2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的 焦距为25，且过点A(22.一1).直线/与双曲线C右支相切（切点不为右 顶点)，且I分别交双曲线C的两条渐近线干M,N两点.O为坐标原点， 独家授权侵权必究 2/3 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 (1)求双曲线C的方程： (2)求证：△MON面积为定值，并求出该定值 解：(1)设双曲线C的焦距为2c(c>0). 由题意可得2c=2\r(5c2=a2+b2.81b2)=1.→a2=4.b2=1.)则双曲线C的 方程为X24-y2=1. (2)证明：由于直线/与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），则直线/的斜率存在，设 直线/的方程为y=kx十m. 则y=kx+m.x24)-y2=1消y得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0. △=64k2m2-4(4k2-1)(4㎡+4)=0→4k2=㎡+1④. 设I与x轴交干一点D,|ODl=一mk, SAOMN=SA MOD +SANOD=121ODI xIyM-yNI=-m2klklIXM-Xl 双曲线两条渐近线方程为y=±12x, 联立y=|f12y=kx+m→Mavs4\al小co1(f(2mm1-2k).联立y=-1f(12y=kx +m.→WMa1vs4\al小co1(f-2mm2k+1). 则5。Mow=-m2kk·\f(2m2m1+2k)=-m2kk|\f(4m1-4k2)=12: f(mk)》·lk.f(4m-m2)》=2(定面 4.设椭圆X2a2十y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A.上顶点为B.已知椭圆的离心率为 12.14B=7. (1)求椭圆的方程： (2)设P,Q为椭圆E上异干点A的两动点，若直线AP,AQ的斜率之积为一14.证明直 线PQ恒过定点，并求出该点坐标. 解：(1)由于e=12,a2=4c2,① 又AB=7..a2+b2=7.② 由①②解得a2=4.b2=3. :椭圆的方程为x24+y23=1 (2)在(1)的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx十m.由\ fx2y23y=kx+m消去y得(3+4k2)x2+8kmx+42-12=0. 设Px1,y.Q