课时跟踪检测(54) 立体几何中的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/5 色学科网书城四 品牌书店，知名教辅·正版资源 b2XXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（五十四立体几何中的综合问题 1.(2022·泉州二模)如图①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD 为折痕把△4CD折起，使点A到达点P的位置，且∠PBD=60°，E,F,H分别为PB,BC, PD的中点，G为CF的中点（如图② 图① 图② (I)求证：G丑∥平面DEF; (2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值. 解：(1)证明：连接BH,与ED相交于点M,连接MF,因为三角形ABC是等腰直角三 角形，CD是斜边AB上的高，所以AD=DB,即PD=DB,因为∠PBD=60°，所以△PBD 是等边三角形，因为E,H分别为PB,PD的中点，所以DE,BH是△PBD的中线，BM= 23BH,因为F为BC中点，G为CF的中点，所以BF=23BG,所以MF∥GH,因为MF C平面DEF,GH平面DEF,所以GH∥平面DEF (2)因为CD⊥DB,CD⊥DP,DBODP=D,所以CD⊥平面DBP. 如图，过点D作直线垂直平面BDC,作空间直角坐标系，设PD=DB =DC=2,则C0,2,0),B2,0,0),P1,0,3), H alvs4alcol(f(1r(32),Galvs4\anco1(f(132),0,=(-2,2,0), =(-1,0,3),=vs4acol0,Br32.设n=化，y,)是平面PBC的一个法向量， 则n·\o(BC-→)BP-→)=0，即-2x+2y=0,-x+\r(3)z=0,）令x=3,则y=3,z =1,n=(3,3,1).设直线GH与平面PBC所成角为0，则sin0=cos n, I=HG- →)HG-→)==7)7，故直线GH与平面PBC所成角的正弦值为7)7. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD, AB⊥BC,AB=BC=2CD=4,PA=2,PB=25,E为BC的中点，.且PE ⊥BD. (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)线段PB上是否存在一点M,使得二面角M-DE-A的余弦值为39？若存在，试确定 点M的位置：若不存在，请说明理由. 独家授权侵权必究 2/5 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■.ZXXK.com 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)证明：连接AE,AE与BD的交点记为点O,因为AB=BC,BE=12BC=2=CD, ∠ABE=∠BCD=90°，所以△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD,因为∠ABD十∠CBD =90°，所以∠ABD+∠BAE=90°，所以∠AOB=90°，即BD⊥AE,又因为BD⊥PE,且 PE∩AE=E,所以BD⊥平面PAE,因为PAC平面PAE,所以BD⊥PA.因为在△PAB中， PA2十AB2=PB2,所以PA⊥AB,又因为BD∩AB=B,所以PA⊥平而ABCD (2)存在，点M为靠近点B的三等分点，理由如下：如图，以B为原 点，BA,BC所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系，则A 4,00,B0,00),C0,40),40,2),E02,0,D24,0,=(40,2 设=1一=4,0200≤≤1，即点M4,02),则=(， -2,20, -=22,0.设平而DBM的法向量=k,y,,由n1o(D-→)EM-一 )=4xx-2y十2入z=0,取x=2,则n1=(亿，-1，一22-1)，易知，平面ABCD的一个 法向量为西=0,0,1)，因为二面角M-DEA的余弦值为3)9，即cos1,2|=| nl·n2llnl|ln2|=|2x+1\r(2x2+2x+12)=3)9,整理可得212-4-1=0， 解得元=一17（舍去）或1=13.故线段PB上存在一点M,使得二面角M-DE4的余孩值为3) 9,此时点M为靠近点B的三等分点 3.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，平面PAC⊥平 面ABC,在△PAC中，PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB 的中点. ()求证：BC⊥平面PAC (2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线1上的一个动点，求直线PQ 与平面AEF所成的角的取值范围。 解：(1)证明：C是以AB为直径的圃O上异于A,B的点，BC⊥AC, 又平面PAC⊥平面ABC,且平面PACn平面ABC=AC,BCC平面ABC, ∴BC⊥平面PAC (2)由E,F分别是PC,PB的中点，∴BC∥EF, 又EFC平面AEF,BC￠平面AEF, ∴.BC∥平面AEF, 又BCC平面ABC,平面AEF∩平面ABC=L, ∴.BC∥L 以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x轴、y轴，过C且 ◆独家授权侵权必究· 3/5 色学