课时跟踪检测(52) 向量法求空间角（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/8 色学科网书城■ 品牌书店，知名教辅+正版资源 ■.ZXXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（五十二）向量法求空间角 1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的 棱柱称为堑堵.已知在堑堵ABC-A B1C1中，∠ABC=90°，AB=2,BC=22,若直线CA1 与直线AB所成角为60°，则A41=() A.3B.2C.22D.23 解析：选B如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A 2,00,C022,0,设412,0，e0,则=2,00，-一=，-22， ,cos人，-)1=2Xr(12+z2》=cs60,解得：=2，故A4 =2.故选B 2如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C,D,E三点共线，已知三 棱锥PADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD,PA⊥平面ABCE,PE =3,CD=AD=2,ED=1,则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于() A.3)4B.10)5C.15)5D.13)4 解析：选C如图建立空间直角坐标系，P0,0,2),C(2,2,0),A(0,0,0), E2,一1,0)，则有=(2,2，-2)，=(2，-1,0)，=0,0,2)， 设平面PAE的一个法向量n=(c,y,),则有2x-y=0,2z=0,)令x =1,则y=2,=0,则n=(1,2,0,cos〈，n〉=PC-→)PC-→)=15)5，即直线 PC与平面PAE所成角的正弦值为15)5.故选C. 3.如图，在正四棱柱ABCD-4B,CD1中，底面边长为2，直线CC1与平面 ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选C以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1 =a,则A(2,0,0),C0,2,0),D(0,0,a),C10,2,a,则=(-2,2,0， =(-2,0,a),=(0,0,a),设平面ACD1的法向量为n=(c,y,),则 A n·\o(AC-→)AD1-→)=0，∴.-2x十2y=0,-2x+az=0.)令x=1, ·独家授权侵权必究 2/8 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 可得n=\avs4\alco1(1,1,f2a)为平面ACD,的一个法向量，故cos(m,) =CC1-→)CC1-→-)=2M(4a2+2=2\r(2a2+4). :直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13， .2八r(2a2+4)=13,解得a=4一4已含). 4.(多选)如图，在正四面体ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点， 则) A.直线EF与AB所成的角为真2 B.直线EF与AD所成的角为真4 C.直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为3)3 D.直线EF与平面ABD所成的角的正弦值为2)2 解析：选ABC将正四面体ABCD放在正方体AGBH-MCND中，设 正方体AGBH-MCND的棱长为2，以点A为坐标原点，AG,AH,AM所 在直线分别为x、y、:抽建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B (2,2,0),C(2,0,2),D(0,2,2),E1,1,0),F(1,1,2).对于A选项，=(0,0,2)， =22,0,所以.-一=0，即EF1AB,A对：对于B选项，一=(02,2，c0s〈 ,-)=EF-→)-→)EP-→)-→)=42X2八r(2)=22,所以直线EF与AD所成的 角为Ⅱ4，B对：对于C选项，设平面BCD的一个法向量为m=c1,片，)，=(0，一2,2)， =(-2,0,2),则m·1o(BC-→)BD-→)=-2x1十2z1=0,取1=1，可得m=(1,1,1), 所以cos〈，m〉=EF-→)EF-→)=22\r(3)=3)3,故直线EF与平面BCD所成的 角的正弦值为3)3，C对：对于D选项，设平面ABD的一个法向量为=(2，片，)，则n· \o(AB-→)AD-→)=2y2十2z2=0,取龙=1，可得n=(1,-1,1),cos〈，n〉=EF- →)EF一→)=22八r(3)=3)3,故直线EF与平面ABD所成的角的正弦值为3)3，D错误. 5如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠CDP= 90°，若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°，则二面角A-PB-C的余弦值 为 ◆独家授权侵权必究 3/8 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F,因为∠BAP=∠CDP =90°，得AB⊥AP,CD⊥PD,由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥ 平面PAD,故AB⊥PF,可得