课时跟踪检测(24) 利用导数研究函数的零点（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/3 色学科网书城■ 品牌书店，知名教辅，正版资源 ■.ZXXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（二十四利用导数研究函数的零点 1.已知函数x)=kx一lnx(心0) ()若k=1,求x)的单调区间： (2)若函数x)有且只有一个零点，求实数k的值. 解：(1)若k=1,则fx)=x一lnx,定义城为(0，十∞)，则f”x)=1一1x,由f”(e) >0,得x之1：由f'()0,得0<x<1,∴)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十 co). (2)fx)=x-lnx,'(x)=k-1x=kx一1x>0,k>0).当0<x<1k时，f'()<0:当x >lk时，f(0.f在avs4\al八co1(0,f(1k)上单调道减，在 a\vs4\al\col(f(1k),+o)上单递增，fx)mim=f八a\vs4\al\col(f(1k)=1-ln1k, fx)有且只有一个零点，.1-ln1k=0,即k=1e 2.(2022梅州二模)己已知fx)=e一2x (1)求x)的单调区间； (2)证明：方程fw)=cosx在\a\vs4\al\col(-1f(2),0)上无实数解. 解：(1)x)的定义域为R,f)=c一2， 令f'(xP0,即e2,解得n2, 令f'(<0,即e<2,解得x<n2. 综上所述，fx)的单调递减区间为（一o,n2),单调递增区间为n2,十∞）. (2)证明：令gx)=er-2x-cosx,x∈\a\vs4\a1\co1(-\f(r2),0), 8'()=e+sinx-2, 因为当x∈\a\vs4\al\co1(-\f(r2）,0)时，g'(e)=(e*-1)+(sinx-1)<0, 所以ge)在\a\vs4\al\col(-\f(r2),0)上单调递减. 因为g(xPg0)=0, 所以函数g(x)在\a\vs4\al\col(-\f(r2),0)上无零点. 即方程fx)=cosx在\a\vs4\al\col(-\f(r2),0)上无实数解. 3.(2022·遵文三模)己知函数f)=lnx一ax十1，a∈R. ()当a=1时，求函数x)的单渊区间； (2)若x)=1有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围， 解：(1)当a=1时，fx)=nx一x十1，定义城为(0，十四)， '(x)=1x一1=1一xx,当x∈(0,1)时，f'xP0: 当x∈(1，十四)时，'()<0，所以函数f)的单调递增区间为0,1)，单调递减区间为(1， 十∞)： ◆独家授权侵权必究· 2/3 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)由题意，lnx一a十1=1，即a=lnxx有且仅有两个不相等实根， 令g(x)=lnx,h(e)=a,即g(r)与h(x)的图象有两个交点， g')=1-1nxx2,x∈(0，e)时，g'x少0，x∈(e,+o)时，g'(e)<0, 所以g)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减， 所以函数gr)的最大值为ge)=lnee=le, 2 又因为x→0时，g()→-四，x→十四时，g(x)→0， 5()=Inz 所以当a∈\a\vs4\al\col(0,\f(1e)时，gc)与h(s)的图象有两 123 个交点，如图所示 所以实数a的取值范固为\avs4\al\co1(0,\f(1e) 4.(2023芜湖一模)己知函数fx)=ar十(a一1)lnx十1x一2，a∈R. ()讨论fx)的单调性： (2)若)只有一个零点，求a的取值范围. 解：()函数fr)的定义域为(0，+o),f'()=a十a-1x一1x2=ax-1x十1 x2, ①若a≤0，'()<0，则fx)在(0，十∞)上单调递减： ②若a>0,x∈\a\vs4\al\col(0,\f(1a)时，f'(x)<0,x)单调递减，x∈\ avs4\al\col(f(1a),+o)时，f'c>0,fx)单调递增 综上，a≤0时，)在(0，十o)上单调递减：a>0时，fx9)在\a\vs4\al\col(0, f(1a))上单调递减，在a\vs4\al\col(f(1a),+o)上单调递增. (2)若a≤0，f八a\vs4\al\col(f(1e)=ae+1-a+e-2=\a\vs4al\col(f(1e)- 1)a+e-1>0,f1)=a-1<0. 结合函数的单调性可知，)有唯一零点。 若a>0,因为函数在\a\vs4\al\col(0,\f(1a)上单调递减， 在\a\vs4al\col(f(1a),十o)上单调递增，所以要使得函数有唯一零点，只需f c)mim=a\vs4al\col(f(1a)=1-(a-1)lna+a-2=(a-11-lna)=