课时跟踪检测(23) 利用导数研究不等式问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/2 盈学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（二十三）利用导数研究不等式问题 1.设函数f(0=lnx一x+1. (1)讨论f(x)的单调性： (2)求证：当x∈(1，+∞)时.1<X-1nX<x 解：(1)f(x)=1x-1(X0).由f(x0>0,解得0<x<1:由f(0<0.解得X01.∴f0在 (0,1)上单调递增.在(1，十∞)上单调递减 (2)证明：要证当x∈(1，+∞)时.1<x-1lnX<x,即证Inx<x-1<dnx.由(1)得f (x)=lnx-x+1在(1.+o)上单调递减.∴当x∈(1，+∞)时.f)<f1)=0,即有lnx <x-1设F(x)=xnx-x+1,则F(x)=1+lnx-1=Inx.当x∈(1，+∞)时.F() >0,F(x0单调递增.∴F(x)>F(1)=0.即有nxx一1.∴原不等式成立 2.已知函数f孔x)=aex-1-lnx+Hna. (1)当a=e时，求曲线y=)在点(1,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： (2)若f)≥1，求a的取值范围. 解：f)的定义域为(0，+o),f(x)=aex-1-1x. (1)当a=e时，0=e*-lnx+1,所以1)=e+1.f(1)=e一1，所以曲线y=0在 点(1,1)》处的切线方程为y-(e+1)=(e一1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e一1)x +2在x轴、y轴上的截距分别伪-2e一1,2，因此所求三角形的积为2e一1 (2)当0<a<1时.f1)=a+lna<1.当a=1时.f)=ex-1-lnxf()=ex-1-1x.当 x∈(0,1)时.f(x)<0:当x∈(1.+∞)时，(x)>0.所以当x=1时.x)取得最小值最小值 为f1)=1,从而fW≥1.当a>1时，孔x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnX21.综上.a的取 值范围是[1.十∞). 3.(2023.哈尔滨市第六中学高三期末)已知函数f孔x)=2x3一ax2十8. (1)当a=1时，求曲线y=f代)在点(1，f1)》处的切线方程： (2)若在囚间1,2)内至少存在一个实数x,使得x)<0成立.求实数a的取值范围， 解：(1)当a=1时.f0=2x3-x2+8.f(0=6x2-2x=2x(3x-1),又1)=9.f(1) =4. 故y=f0在点(1.1)处的切线方程为y一9=4(x-1).即4x一y+5=0. (2)因为x∈[1,2).若孔0<0 即2x3-ax2+8<0.a>2x+8x2. 合h(x)=2x+8x2.x∈[1,2)， 则h(x)=2-16x3=2(x3-8)x3, 当x∈[1,2).h()<0.h(x)单调递减.故h(x0>h(2)=6. 若在☒间1,2)内至少存在一个实数X,使得代x)<0成立，故a≥6. 则实数a的取值范围为[6，十∞). 4.设函数)=ax2-(x+1)lnX,曲线y=x)在点(1.1)处切线的斜率为0. (1)求a的值： 独家授权侵权必究 2/2 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 (2)求证：当0<x≤2时.x0>12x 解：(1)f(9=2ax-nx-1-1x.由题意.得f(1)=2a-2=0,所以a=1. (2)证明：由(1)得孔x)=x2-(x+1)lnx,证当0<x≤2时.f孔x)>12x,只需证当0<x ≤2时.x-lnxx-lnx>12.即x-lnX>lnxx+12.令g(x)=x-lnx.h(W=lnxx+12. 合g(x)=1一1x=0.得x=1.易知g(x0在(0,1)上单调递减.在(1,2]上单调递增.故当0 <x≤2时，g(x)min=g(1)=1.因为h(W=1-lnxx2.当0<x≤2时.h(x)>0.所以h()在 (0,2]上单调递增.故当0<x≤2时，h(Wmax=h(2)=1十ln22<1,即h(x0max<g(x)mim.故当 0<x≤2时.h(x)<g(x),即当0<x≤2时.f)>12x 5.已知曲线孔x)=(x+1)lnx-12x2一ax+b(a,b∈R)在x=1处的切线经过坐标原点. (1)求b的值： (2)若fx0s0,求a的取值范围. 解：(1)f(x)=lnx+X+1x-x-a. f(1)=1-a,又f1)=-12-a+b. .f孔x)在x=1处的切线为y+12+a-b=(1一a(x一1)，又该切线过原点.∴12+a一b =-1+a,解得b=32. (2)由(1)得fx0=(x+1)lnx-12x2-ax+32.f)定义域为(0，+0). 若f0≤0恒成立.则a≥alvs4al小co1(1+\f(1x)lnx一12x