课时跟踪检测(65) 圆锥曲线中的证明、存在性问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（六十五）圆锥曲线中的证明、存在性问题 1.(2023·四川资阳中学模拟己知抛物线C:x2=2p(p>0)的焦准距为2，过C上一动点 P,)(≠0)作斜率为k1,k的两条直线分别交C于A:1,),B(,2)两点(P,A,B 三点互不相同，且满足，十k1=00≠0,2≠一1)： ()求抛物线C的方程： 2)设直线AB上一点M,满足一=2，证明：线段PM的中点在y轴上. 解：(1)由于抛物线的焦准距p=2,所以抛物线C的方程为x2=4. (2)证明：直线PA的方程为y一%=k1(c一)， 由y一y0=k1x一x0,x2=4y)解得x1=41一a,同理可求得2=4h2一x6, 由于k2十k1=0(U≠0,1≠一1)，=一k1,则2=一4k1一x 由于=1，即x一，M一)=-xh一=(x1-x,-少d, 所以xM-x2=x1一xm,r=入x1+21十入=4入k1-入x0-4入k1-x01+入=- 入-11十入=-， 所以十x=0,即线段PM的中点在y轴上. 2.(2023南通开学考d已知抛物线C:2=2px(p>0)过点M(m,2),其焦点为F,MF=2. (1)求抛物线C的方程： (2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F:(c一1)2十2=1相切，切点分别为A,B,求证：A,B,F三点共线。 解：(1)抛物线C的准线方程为x=一p2,MF=m十p2=2, 又抛物线C:y2=2px(>0)过点M(m,2), ∴.4=2pm,即4=2p\alvs4\al\col(2-\f(p2).∴p2-4p+4=0, ∴p=2,.抛物线C的方程为y2=4. (2)证明：设E0,0≠0)，已知切线不为y轴， 设EA:y=kx十t,联立y=kx十t,y2=4x,)消去y,可得k2x2+(2kt一4)x十2=0， :直线EA与抛物线C相切，.4=(2t一4)2-442=0，即1=1. 代入1t2x2-2x+2=0,.x=t2,即A(t2-20, 设切点B(,o),则由圆的几何性质可以判断点O,B关于直线EF:y=一x十1对称， ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则y01一00一1002)+t,解得x0=y22t2+12tt2+), 又，抛物线C:y2=4r的焦点为F1,0), ÷.=(e-1,20,=as4acol1w2222+)=1t2+1e-120=1t2+1, A,B,F三点共线. 3.(2023南京模拟)已知椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0),点6) 2rc)(a\vs4\al\col(1,)在椭圆上，直线：y=x十m与椭圆C交于A,B两点，且线 段AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM的斜率为一12. (1)求椭圆C的标准方程： (2)当m=1时，椭圆C上是否存在P,Q两点，使得P,Q关于直线1对称，若存在， 求出P,Q的坐标，若不存在，请说明理由。 解：(1)设A1,),B(,), 则Aalvs4小aNco10f(x1+x2wl十y22), 所以koM=y1+y2x1+x2=-12. 因为A,B在椭圆C上，所以2a2+2b2=1,22a2+2b2=1, 两式相减得x1十x2 x1-x2a2+y1+y2 y1-y2b2=0,即1a2+ y1+y2 y1-y2 b2 x1+x2 x1-x2=0, 又k4B=y1-y2x1-x2=1,所以1a2-12b2=0,即a2=2b2 又因为椭圆C过点a\vs4\al\col(1,\f(r(6)2)),所以1a2+32b2=1,解得a2=4, b2=2, 所以椭圆C的标准方程为x24十y22=1. (2)由题意可知，直线I的方程为y=x十1. 假设椭圆C上存在P,Q两点，使得P,Q关于直线1对称，设P,),Q4,y), P2的中点为Nxo,%),所以十x4=2,片十4=2%， 因为P,Q关于直线1对称，所以k0=一1且点N在直线1上，即%=x十1. 又因为P,Q在椭圆C上，所以34十22=1,244十2,2=1， 两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0, 即x3+x44+y3+y4 y3-y42x3-x4=0,所以x3+x44=y3+y42, 即x0=20 联立x0=2y0,y0=x0+1,)解得x0=-2,y0=-1,)即N(-2,-1). ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 又因为一224+一122>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾， 所以椭圆C上不存