课时跟踪检测(64) 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（六十四）圆锥曲线中的定点、定值问题 1.(2023石嘴山模拟已知F是抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点，点M.4)在抛物线上， HIMF1=54x0-0 (①)求抛物线C的标准方程； (2)若A,B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB,O为坐标原点，求证：直线AB过 定点 解：(1)由题意得，MF1=x十p2=54,解得=2p. 因为点M.4)在抛物线C上，所以42=2x=4p2,解得p2=4. 又p>0,所以p=2,即抛物线C的标准方程为2=4x (2)证明：设Ac,),B(x,2). 因为OA10B,所以.一=0，即十=0. 因为点A,B在抛物线C上，所以21=4,22=4x,代入得y1y2216+2 因为n≠0，所以2=一16. 设直线AB的方程为x=my十n,联立x=my十n,y2=4x,)得y2-4y一4n=0, 则2=一4，所以n=4, 所以直线AB的方程为x=my十4，过定点(4,0). 2.如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0的长轴长为4，点A,B,C为 椭圆上的三个点，A为椭圆的右顶点，BC过中心O,山BC=2AB,S △4Bc=3. ()求椭圆的标准方程； (2)设P,Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A,CO),且满足∠PBC=∠QBA, 试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PO的斜率为定值 解：(1)：BCI1=2MB引，∴.SAa4B=12SA4BC=32,又△AOB是等腰三角形，∴B \a\vs4\a1\co1(1,1f(32),把B点代入椭圆方程x24+y2b2=1,求得b2=3,∴.椭圆方 程为x24+y23=1. (2)由题易得直线BP,BQ的斜率均存在，又∠PBC=∠QBA,'.kgP=一kB@证明：设直 线BP:y一32=kc-1),代入椭圆方程x24+y23=1,化简得\rc\)(a\vs4\al\co1(3+4k2) 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 x2-8k\a\vs4\al\co1(k-1f(32)x+4h2-12k-3=0,其一解为1，另一解为xp=4k2- 12k-33+4k2,则p=-12k2-6k3+4k2+32将-k代入得x0=4k2+12k-33+4k2,yQ =-12k2+6k3+4k2+32,.k0=yP-yQxP-xQ=12为定值. 3.(2023邢台高三开学考试已知A1,A2为椭圆C:x2+y23=1的左、右顶点，直线x =与C交于A,B两点，直线A14和直线AB交于点P. (①)求点P的轨迹方程： (2)直线I与点P的轨迹交于M,N两点，直线NA,的斜率与直线MA2斜率之比为一13. 求证：以MN为直径的圆一定过C的左顶点. 解：(1)由题意得A1(一1,0)，A(1,0),设A(,),B(x,一o)0o≠0)，Px,y),则kP4 =k41'kpA2=kR42' 即yx+1=y0x0+1,yx一1=一y0x0-1,两式相乘得y2x2-1=22,又，点(c6,0)在 C上，即x20-1=-23,得y2x2-1=3,x2-y23=10≠0). (2)证明：“k4,=一13k4,设直线N41的方程为x=一3y一10m≠0)，则MA2的方程 为x=my十1， 联立x=-3my-1,y23)=1得27m2-1)2+18m=0(27m2-1≠0且4>0)，设Nxw,yw, 得xw=54m227m2-1-1,Jyw=-18m27m2-1, 同理设M(x,yd,得xr=一6m23m2一1+1， =-6m3m2-1, k41=yMxM+1=-6m-6m2+23m2-1=3m, k41=yNxN+1=-18m54m2=-13m, kMA1kNA1=-1,即MA1⊥NA1, ∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点 4.(2023湖北高三开学考0已知双曲线C与双曲线x212一y23=1有相同的渐近线，且 过点A(22,-1). (1)求双曲线C的标准方程： 2)已知D2,0,E,F是双曲线C上不同于D的两点，且.=0，DG1EF于G, 证明：存在定点H,使GH为定值. 解：()因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，所以设双曲线C的标准方程为 ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 x2-4y2=1, 代入点A坐标，解得=4，所以双曲线C的标准方程为x24一y2=1. (2)证明：①当直线EF斜率存在时，设EF:y=kx十m,Ex1.),Fs22,联立y=x +m与双曲线x24-y2=1,化简得