课时跟踪检测(63) 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（六十三) 圆锥曲线中的最值、范围问题 1如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴一点，抛物线C:y2=4x上存 在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上， ()设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴： (2)若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 解：(1)证明：设Pxo,o),Aas4aco1(1.n,B alvsAalco1(f(12).x2. 因为PA,PB的中点在抛物线上， 所以h,为为方程\a\vs4\a1\col(个f(y+y02)2=4142, 即2一2ay十8一y20=0的两个不同的实数根. 所以片十片=2因此，PM垂直于y轴. (2)(1)可知y1十2=230,2w.所以PM川=18021+y22)-x=3420-3x%,M一2=220) -4x0 因此，△PAB的面积SAP1B=12PMbM1-2=2)4020-4)2 因为x20+2w4=1(-1≤m<0),所以y20-4%=-4x20-4+4∈(4,5] 因此，△PAB面积的取值范围是\a\vs4a1\co1(6r(2),\f(15\r(10)4). 2.(2023·南通模)设双曲线C:x2a2一y2b2=1(a>0,b>)的右顶点为A,虚轴长为2， 两准线间的距离为6)3. ()求双曲线C的方程； (2)设动直线1与双曲线C交于P,Q两点，已知AP⊥AQ,设点A到动直线1的距离为 d,求d的最大值 解：(1)依题意可得b=/0r(222a22(63a2十b2=c2,解得a2=1,12),所以双曲线的方 程为x2-2y2=1. (2)由(1)可知A(1,0),依题意可知k4pk0=一1，设P(J),Qx22),则x21一221=1， x22-222=1, 则有kp=y1x1-1=x1+12y1,k40=y2x2-1=x2+12y2, 所以y1x1-1x2+12y2=-1,x1+12y1y2x2-1=-1, 所以x4十2xh=2h一h,2x十2yw=2一片， 作差得x州一x2=301一，又P的方程为一xy=0一yr十一收， 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■.ZXXK.com 您身边的互联网+教辅专家 所以PQ过定点M3,0),所以d≤4M=2,即d的最大值为2. 3.(2023·无锡高三期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点A \a\vs4\al\co1(一1，\f(32))在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦 点F和点P的直线1与椭圆C交于M,N两点， (1)求椭圆C的标准方程： (2)求IPM+PNIPF|的取值范围， 解：(1)由题意知f(c121Mf(94b2c2十b2=a2,.a=2,b=\r(3),).椭圆C的标准方程 为x24+y23=1. (2)设直线1的方程为y=kx一1)，其中k<0,M(),Nx2. 2) 则y=kx-1,3x2+4y2=12)→3x2+42x2-2x+1) =12, ∴.(3+4hx2-8k2x十42-12=0,4=64-4(3+4k2)4k2-12)=144k2+1)>0, 1十x2=8k23十4k2,x=4k2-123+4k2, ..PM=1+k2x,PM=1+k22,PF]=1+k2, ..IPM+IPNI PFI=+, 若k≤-3，则≥0，x>0,xl+=x十=8k23+4k2=83k2∈\f(85),2): 若-3<k<0,则x1<0,>0, +z=2-1=k2+1)3+4k2, 令k2十1=m,.1<m<2, ∴.x2一x1=12m3+4m2-1=12m4m2-1=121m, 因为函数121m在(L,2)单调递减，所以一1=121m∈1a\vs4\alco1(个f(85),4). 综上IPM+PN|IPP|的取值范围为趴f(85),4). 4.(2022·济南三模)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为6)3，且经过点P (1,3) (1)求椭圆C的方程： (2)A,B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值 解：(1)由题意得e=yfer(6331b2a2=b2十c2,解得a=1r(6),b=\r(2),)∴.椭圆C 的方程为y26+x22=1. (2)由题意可知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为y=x十t,A(x,),B ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (22), 将y=kx+t代入y26+x22=1得k2+3)x2+2k+2-6=0,x1+