课时跟踪检测(74) 概率与统计的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 课时跟踪检测（七十四) 概率与统计的综合问题 1.(2022·盐城二模最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功.且试验成功的概率 为p(0<p<1).现对该产品进行独立重复试验，若试验成功.试验结束：若试验不成功.则继续 试验，且最多试期验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数.且每次试验的成本为a(a>0) 元 (1)①写出X的分布列： 2证明：E(0<1p: (2)某公司意向投资该产品若p=0.25,且试验成功坝侧获利5a元，则该公司如何决策投资. 并说明理由， 解：(1)①由题意.X=1,2,3,,10 故PX=k)=p(1-p)k-1,k=1,2.,9,PX=10)=(1-p)9 分布列如下： y 2 3 4 S 6 8 9 10 p(1 p(1 p(1 p(1 p(1 p(1 ( p(1 p(1- P p 一p) p)3 2 4 p)5 p)6 )7 p)8 )9 2证明：(0=p(1一p)0+2p(1-p)1+3p·(1-p)2+.+9p(1-p)8+10(1-p)9 记5=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+..+9(1-p)8 (1-p)5=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+.+9(1-p)9 作差可得.p5=(1-p)0+(1-p)1+(1-p)2+.+(1-p)8-9(1-p)9=1-(1-p )9p-9(1-p)9 则E(0=p5+10(1-p)9=1-(1-p)9p+(1-p)9=1-(1-p)10p<1p,即证 (2)由(1)可知E(9<1p=4,则试脸成本的期望小干4a,又获利5a大于成本的期望.则应 该投资 2.某市2022年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的 類率 组距 工厂，质检部剖门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液， 0.030 0.025 检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分 0.020 0.015 布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的频数 0.010 0.005 分布表如表所示（同一组数据用该组数据的☒间中点值作代表， 0 1020304050质量指标值 频率视为概率)。 质量指标值 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) 频数 20 10 30 15 25 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标 值的中位数： (2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(μ.σ).其中H近似为样本平 均数×，并已求得o=11.95.该厂决定将消毒液分为A、B、C三个等级.其中质量指标值Z不 高干2.6的为C级，高干38.45的为A级，其余为B级.请利用该正态分布模型解决下列问题 ④甲厂近期生产了10万瓶消毒液.试估计其中B级消毒液的总瓶数： ②已知每瓶消毒液的等级与出厂价X(单位：元/瓶的关系如表所示： 等级 A B C 出厂价X302516 假定甲厂消毒液半年的生产量为1000万瓶。且消毒液全都能销售出去.若每瓶消毒液的 成本为20元.工厂的总投资为4千万元（含进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂 能否在半年之内收回投资？试说明理由. 附：若X~N(4,o2).则Pμ-o<X≤H+=0.6827.Pμ一2a<Xsμ+2=0.954 5,PH-3o<X≤H+3)=0.9973. 解：(1)根据频率分布直方图的性质.可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为x甲 =(5×0.01+15×0.02+25×0.03+35×0.025+45×0.015)×10=26.5,设乙厂生产的消 毒液的质量指标值的中位数妫n.则0.2+0.1+(n-20)×0.03=0.5,解得n=803,即乙厂 生产的消毒液的质量指标值的中位数为803. (2)①题意.甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(26.5,11.952). 所以P(2.6<Zs38.45)=Pw-2a<Zsμ+=12[Pμ-2a<Zsμ+2d)+Pμ-g<Z≤ μ+]=0.9545+0.68272=0.8186.又由0.8186×100000=81860，所以可估计 甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有81860瓶 ②设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10,5，一4，可得P(Y=10)=P (Z>38.45)=PZ>μ+d=12[1-P(μ-σ<Z≤μ+o]=12(1-0.6827)=0.15865, 由①知P(Y=5)=P2.6<Z≤38.45)=0