课时跟踪检测(54) 立体几何中的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（五十四）立体几何中的综合问题 1.(2023·潍坊一模图1是由矩形ACC1A1、等边△ABC和平行四边形ABB1A2组成的 个平面图形.其中AB=2,AA1=AA2=1,N为A1C1的中点.将其沿AC,AB折起使得AA1 与A42重合.连接B1C1.BN,如图2. 图1 图2 (1)证明：在图2中，AC⊥BN.且B.C,C1.B四点共面： (2)在图2中，若二面角A1-AC-B的大小为8.且tan0=-12.求直线AB与平面BCC1B1 所成角的正弦值 解：(1)证明：取AC的中点M.连接NM,BM.如图 因为四边形ACC1A1为矩形.N为A1C1的中点，则AC⊥MN. 又因为△ABC为等边三角形，则AC⊥MB, MNnMB=M.MN.MBc平面BMN. 则有AC⊥平面BMN.又BNC平面BMN, 所以AC⊥BN 矩形ACCA1中，AACC1,平行四边形ABB1A1中，AAllBB1,因此BBCC1. 所以B.C.C.B四点共面 (2)(1)知MNLAC,BMLAC,则∠NMB为二面角A1-AC-B的 平面角.即0=∠NMB. 在平面BMN内过M作Mz⊥MB.有AC⊥Mz.以M为坐标原点建 立如图所示的间值角坐标系，则A(1,0,0).B(0.3,0),C(一1,0,0)， No.cos日.sin).C(-1.cos日.sin).=(1.3.o).=(0.cos日.sin. 设平面BCCB1的一个法向量为n=(xy.2). 则Γ -.n=x+r(3y=0.·n=ycos0+zsin6=0.)冷y=-1. 得n=\alvs4\al小co1(0r(3).-1.1f(1tan). 由tan6=-12.得n=(3.-1.-2).=(-1.3.0).设直线4B与平面BCCB 所成角为x,于是得sin o=cos(n.一)1=一一n:nll==6)4.所以直线AB 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 与平面BCC1B1所成角的正弦值是6)4. 2.如图.三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长为2，A1B=A1C=2. M是棱BC的中点. (1)求证：A1ML平面ABC: (2)在线段BC上是否存在一点P.使直线BP与平面A1BC所成角 的正值为30)20？若存在，求出CP的值：若不存在，请说明理由 解：(1)证明：A1B=A1C=2.BC=2.M是BC中点， :.A MLBC,AM=1,AA=2.AM=3. .AMP+A1M=AA21.∴A1MLAM,又AMnBC=M,AM,BCc平面ABC,∴.A1ML 平面ABC (2)建立如图所示的空间直角坐标系 则A(3.0,0).A1(0,0,1).B(-3.1,1),B(0,1,0).C0. -1,0).一=(3.-2.-10.合=X=(3入-2入- 0(0<入<1) 则一=一+一=(-3入2入-2.0.(1)知平面41BC的法向量为 =(3.0,0) 设直线BP与平面A1BC所成为日 则sin日=--一avs4aco1(cos〈.）)=f-3r(3)r(82-8A+4》= 30)20. 解得入=34或入=32（舍） 所以当CP=34CB1时.满足题意，此时CP= Arc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3\rc\\rc\4))=2)2. 3.如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和Rt△PAD拼接而成.其中AB=BC=1. BCAD,AB⊥AD,PA=PD=2,PALPD.PC与AD相交干点O,现沿着AD折成四楼锥 P-ABCD(如图2). 图1 图2 (I)当四楼锥P-ABC①的体积最大时.求点B到平面PCD的距离： (2)在(1)的条件下，线段PD上是否存在一点Q.使得二面角Q-AC-D的余弦值为6)3？ 若存在.求出PQQD的值：若不存在，请说明理由. 解：(1)题图1中.在△PAD中.PA⊥PD.PA=PD=2,∴AD=2. 易知四边形ABC0为正方形.AO=1,即O为AD的中点. ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在题图2中，当四楼锥P-ABCD的体积最大时， 侧面PAD⊥底面ABCD,此时PO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点，OC所在直线为x轴.OD所在直线为y轴.OP所在直线为z轴建立空 间直角坐标系 如图所示.则P0,0,1).A(0.一1,0).B(1.-1,0).C(1,0,0), D(0,1,0) =(1.-1.-1.一=(-10,1.一=(0,1.-10. 设平面PCD的-个法向量为u