课时跟踪检测(52) 向量法求空间角（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 课时跟踪检测（五十二) 向量法求空间角 1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的 棱柱称为堑堵.已知在堑堵ABC-A B,C1中，∠ABC=90°，AB=2,BC=22,若直线CA1 与直线AB所成角为60°，则A41=() A.3 B.2 C.22 D.23 解析：选B如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则BO,0,O),A 2,00,C0,22,0,设41(2,0,0e>0,则=20,0，-=2，-22， ,∴c0s（,-)1=42×1r(12+z2)=cos60°，解得：=2，故4 =2.故选B. 2.如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C,D,E三点共线，已知 三棱锥PADE四个面都为直角三角形，且ED LAD,PA⊥平面ABCE, PE=3,CD=AD=2,ED=1,则直线PC与平面PAE所成角的正弦值 等于() A.3)4 B.10)5 C.15)5 D.13)4 解析：选C如图建立空间直角坐标系，P0,0,2),C(2,2,,A 0,00,0,-1,0,则有=2,2，-2)，-一=2，-1,0， =(0,0,2),设平面PAE的一个法向量n=(x,y,),则有2x一y=0, 2z=0,)令x=1,则y=2,=0,则n=L,2,0,÷c0s〈，n)=PC-PC-15) 5,即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为15)5.故选C. 3.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD1中，底面边长为2，直线CC与平面 D 、B ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为) A.2 B.3C.4 D.5 解析：选C以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 D. DD1=a,则A(2,0,0),C(0,2,0),D10,0,a),C1(0,2,a),则=(-2,2,0)， ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.com● 您身边的互联网+敷辅专家 =(-2,0,a), =(0,0,a),设平面ACD1的法向量为n=c,y,),则 n·1o(aC-HD1-》0.∴.-2x+2y=0,-2x+az=0.)令x=1, 可得n=\alvs4\al\col(1,1,f2a)为平面ACD,的一个法向量，故cosn,)》 =CC1-C1=2M4a2)+2=2\r(2a2+4). ,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13， ∴2\r(2a2+4)=13,解得a=4一4已舍). 4.已知长方体ABCD-A1B1CD1的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为A41 =6,则BC1与对角面BBDD所成角的正弦值等于() A.2)5 B.35 C.45D.2)5 解析：选A连接A1C,建立如图所示的空间直角坐标系. 底面是边长为8的正方形，A4=6,.A1(8,0,0),B(8,8,0,C 0,8,0),因为A1C1⊥BD1,A1C1⊥BB且BB∩BD1=B1,所以A1C 上平面BB,DD,·=(一8,0，一O,平面BB,D,D的一个法向 量为=（一88,0，∴BC1与对角面BBDD所成角的正弦值为cos〈，）= -8,0,-6·-8,8,0I\r(64+36)×\r(64+64)=64801r(2)=2)5.故选A. 5(多选)如图，在正四面体ABCD中，E,F分别为AB,CD的中 点，则() A.直线EF与AB所成的角为2 B.直线EF与AD所成的角为重4 C.直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为3)3 D.直线EF与平面ABD所成的角的正弦值为2)2 解析：选ABC将正四面体ABCD放在正方体AGBH-MCND中， 设正方体AGBH-MCND的棱长为2，以点A为坐标原点，AG,AH,AM 所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 0,0,0),B(2,2,0),C(2,0,2),D0,2,2),E1,1,0),F1,1,2).对于A选项， =0,2,=2,0,所以一.-一=0，即EFLAB,A对：对于B选项， =02,2 cos〈，)=EF-十EF-+42×2r(2=2)2,所以直线EF与AD所成的 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 角为I4,B对：对于C选项，设平面BCD的一个法向量为m=化1片，)，=0，一2,2)， 一=（-2,02，则m八oBC-BD-》-21+2z10.取1=1，可得m=1,11),所以c0s 〈厂，m〉=EF-EF-22\r(3)=3)3,故直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为 3)3,C对；对于D选项，设平面ABD的一个法向量为