课时跟踪检测(24) 技法先导——双变量问题(含极值点偏移)（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第1页共4页 画学科网书城巴 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（二十四技法先导 双变量问题（含极值点偏移） 1.已知函数fx)=lnx十ax2-x. (1)若a=一1，求函数fx)的极值. (2)设fx)为x)的导函数，若x,x2是函数fx)的两个不相等的零点，求证：x)十f (x21+x2-5 解：(1)由题知x∈(0，十o),因为a=一1，得f)=lnx一x2一x, fx)=1x-2x-1=-rc2)x, 令fxP0,解得0<x<12,令f)0,解得212， 故函数f)在alvs4\al\col(0,f(12))单调递增，在\a\vs4\al\co1(f(12),+ ∞)单调递减， 所以函数fx)的极大值为八a\vs4\al\col(f(12)=-ln2-34, 综上可知，函数f)的极大值为八a\vs4\al\co1(f(12)=-ln2-34,无极小值. (2)证明：依题意f(x)=1X十2ax一1=2ax2-x十1x, 所以1，是2ax2一x十1=0的两个不相等的正实数根， 则a≠0,4=1一8a>0,12a12a)>0,解得0<a<18, fx)+fx2)-为1-x2=lnx1+ln+ax21+ax22-21+x)=a21十x22)-2s1十x)+ ln(cx2)=al[(x1+x2)2-2x1x】-2e1+x2)+ln(c1w)=ln12a-34a-1. 令t=12a,g0=ln1-3t2-1,t∈(4，+w∞)， 则g'0=1t-32=2-3t2t<0,1∈(4，+∞)， 所以()在(4，十∞)单调递减， 所以g0<g(4)=n4-7<2-7=-5, 即)+)1十2-5. 2.己知函数fx)=12x2一xlnx,fx)是fx)的导函数. (I)若函数fx)在x=1处取得极值，3x∈(0，十)，使得fx)<bx-2成立，求实数b 的取值范围： (2)若1e是函数g(x)=f(x)-1的一个零点，当x>x2>a时，证明：e1-x2>lnx11n x2. 解：()由已知得fx)=ax一1一lnx, f(x)=f(x)=ax-1-Inx,t'(x)=a-1x=ax-1x, ·独家授权侵权必究· 第2页共4页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由题意t'(1)=0,则a一1=0，.a=1, 则tx)=x一1一lnx,满足条件， 3x∈(0，十o),使fx)<bx一2， 即3x∈(0，+0，使x-1-lnx-bx+2<0, 即b>1+1x-1nxx, 令h(x)=1+1x-1nxx(>0),印b>h(x)mir h'x)=-1x2-1-1nxx2=1nx-2x2. 令h'x)=0,则x=e2x∈(0，e)时，h'x)<0,h()单调递减： x∈(e2,十o)时，h'xP0,h()单调递增. .h()min=h(e=1-1e2,∴.b>1-1e2. .实数b的取值范围是\a\vs4al八col(1-\f(1e2),十o). (2)证明：，1e是g(x)的一个零点， ..f\a\vs4\al\col(\f (1e))-1=0,ae-1-Inle-1=0,.'.a=e, 盟>>e要证的0，即证>生 In x In 令m(x)=exln x(>e),即证m()在(e,十o)单羽递增. ,m'(r)=rcln2x,令p(r)=lnx一1x,则易知p(r)在(e,十o)单调递增， ∴.p(xPp(e)=1-1c>0, .m'cP0在(e,+oo恒成立， .m(x)在(e,十o)单调递增. .x>xe,..m(xpm(x), 即之即得e的5 In ai In x2 3.已知函数fx)=nx+12x2-ax. ()讨论函数fx)的单调性； (2)若fx)有两个极值点，，证明fx1一fx2x1一x2<2一a2. 解：(1)由已知得f(w)=1x+x一a(>0), 当a2时，fx)=1x十x-22-a20, 当a>2时，fx)=1x十x-a=x2-ax+1x=0, 则x1=a2-4)2,龙=a2-4)2. ·独家授权侵权必究· 第3页共4页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 令f(xP0,则0x1或x之，f)<0,则x1x<x2. 综上，当a2时，)在(0，十0)单调递增， 当 a>2时 fx)在 a2- 4) 2\rc\)(\a\vs4\al\col(0, a2- 4) 2rc\)(alvs4lal\col(,+o) 单调递增，f 在a2-2a2-2rc)(aVS4\a1\c01（,)单调 递减。 (2)证明：fx)有两个极值点1，， 1,龙是方程x2-a十1=