课时跟踪检测(23) 题型精研——利用导数研究函数的零点问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第1页共3页 画学科网书城巴 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（二十三题型精研 —利用导数研究函数的零点问题 1.(2023·梅州模拟)已知fx)=e-2x. (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：方程fx)=cosx在\a\vs4\al\col(-\f(r2),0)无实数解. 解：(1)fx)的定义域为R,f(x)=e-2, 令f()>0,即e>2,解得x>1n2, 令f(x)<0,即er<2,解得x<ln2. 综上，f(x)的单调递减区间为（一o,1n2),单调递增区间为(1n2,十o). (2)证明：令g(x)=er-2x-cosx,x∈\a\vs4\al\col(-\f(r2),0),g'(c)=e 十sinx-2, 因为当x∈\a\vs4\al\col(-\f(r2),0)时，gx)=(e-1)+(sinx-1)<0, 所以g(x)在\a\vs4\al\co1(-\f(r2),0)单调递减 所以gx)>g(0)=0, 所以函数g(x)在\a\vs4\al小co1(-\f(r2),0)无零点. 即方程fx)=cosx在\a\vs4al\col(-\f(r2),0)无实数解. 2.(2021·全国甲卷)已知a>0且a呋1，函数fGx)=xaax(x>0). (1)当a=2时，求fx)的单渊区间. (2)若曲线y=fx)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围， 解：(1)当a=2时，fx)=x22x,则f(x)=2x-x21n22x=x2-xln22x=\ reVn 2))2x. ∴.当x∈\a\vs4\al\co1(0,1f(21n2)时，rx)>0:当x∈ a\vs4\al\col(f(21n2),+o)时，r(x)<0.即f(x)的单调递减区间为\ a\vs4\al\col(f(21n2),+o),单调递增区间为八a\vs4\al\col(0,\f(2ln2). (2)要使曲线y=fx)与直线y=1有2个交点， 即xaax=1有2个解，则lnxx=lnaa有2个解. 令gx)=1nxx(x>0),则g'(x)=1-1nxx2x>0). 令g'x)=1-1nxx2=0,解得x=e. 令g'x)>0,解得0<x<e,此时g(x)单调递增 令g(x)<0,解得x>e,此时g(Gx)单调递减 ·独家授权侵权必究 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 故g(x).ax=g(e）=le. 而gx)在x>e时，g(x)∈1a\vs4\al\col(0,\f(1e). 又：g(1)=0,.要使条件成立，则0<lnaa<1e. 易得a∈(1，e)U(e,十a). 3.(2023·遵义模拟)已知函数f(x)=1nx-ax+1,a∈R. (1)当a=1时，求函数fG)的单调区间： (2)若fx)=1有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围. 解：(1)当a=1时，f(x)=1nx-x+1,定义域为x∈(0，+o), f(x)=1x-1=1-xx,当x∈(0,1)时，fGx)>0: 当x∈(1，十o)时，F(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间 为(1，十0). (2)由题意，1nx一ax十1=1，即a=1nxx有且仅有两个不相等实根，令gx)=1nxx, h(x)=a, 即g(x)与h(x)的图象有两个交点， g'Gx)=1-lnxx2,x∈(0，e)时，g(x)>0,x∈(e,+o)时，gx)<0, 所以g(x)在(0，e)单调递增，在(e,+∞)单调递减， 所以函数g(x)的最大值为g(e)=1nee=le, 又因为x→0时，gx)·一o,x→十o时，g(x)→0， 所以当a∈a\vs4\al\col(0,\f(1e)时，g(x)与h(x)的图象有两个交点，所以实数 a的取值范围为\a\vs4al\col(0,\f(1e) 4.(2022·唐山二模)已知函数fx)=3xx十3，g(x)=bsin x,曲线y=fx)和y=g (x)在原点处有相同的切线1. (1)求b的值以及1的方程； (2)判断函数h(x)=f(x)一g(x)在(0，十o)上零点的个数，并说明理由. 解：(1)依题意得，P(x)=9x+32,gx)=bcosx. f(0)=g(0)=b=1,.b=1,1的方程为y=x. (2)由已知得，h(x)=3xx+3-sinx,当x>r2时，3xx+3=3-9x+3>12sinx,h (xP0,此时h(x)无零点. 当0<x<r2时，h'x)=9x+32-c0sx, ·独家授权侵权必究· 第3页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zx