课时跟踪检测(22) 题型精研——利用导数证明不等式（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第1页共3页 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（二十二）题型精研 利用导数证明不等式 1.已知x∈(0,1)，求证：x2-1x<1nxex. 证明：要证x2-1x<1nxex,只需证er\a\vs4\al\col(x2-\f(1x)<1nx, 又易证e>x+1(0x<1),∴.只需证明lnx+(x+1)八a\vs4\al\col(f(1x)-x2) >0. 即证1nx+1-x3+1x-x2>0,而x3<x,x2x(0x<1), .只需证1nx+1-2x+1x>0,令g(x)=1nx+1-2x+1x, 则g'(x)=1x-2-1x2=-2x2-x+1x2,而2x2-x+1)0恒成立， …g(x)<0,∴g(x)在(0,1)单谓递减， .当x∈(0,1)时，gx)>8(1)=0, 即1nx+1-2x+1x>0. ∴x2-1x<1nxex 2.设函数fr)=lnx一x十1. (1)讨论fx)的单调性： (2)证明：当x∈(1，+o)时，1<x一11nxx: (3)设c>1,证明：当x∈(0,1)时，1+(e一1Dx>c 解：(1)函数f(x)=1nx-x+1的定义域为(0，十o),fGx)=1x-1.令P(x)=0,解 得x=1. 当0<x<1时，子(x)>0,fx)单调递增： 当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减. (2)证明：由(1)知fx)在x=1处取得最大值，最大值为f(1)=0.所以当≠1时，1nx x一1.故当x∈(1，十)时，0<1nxx-1,所以x-11nx>1.用1x代换x得1n1x <1x-1<0,所以x-11nx<x.即1<x-11nx<x. (3)证明：设gx)=1+(e-1)x-c,则g(x)=e-1一cx1nc. 令gGco)=0,解得xo=c一1 In cln c. 当x<o时，g(x)>0,gGx)单调递增； 当x>xo时，g(x)<0,g(x)单调递减。 由(2)知1<c-11nc<c,故0o<1. 又g(0)=g(1)=0,故当0x<1时，gx)>0 ·独家授权侵权必究· 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>e' 3.(2023·凉山模拟)已知函数fx)=mxe十(x十1)2(m∈R,e为自然对数的底数). (1)若f(x)在x=0处的切线与直线y=(2m+3)x平行，求f(x)的极值； (2)若m=1e2,求证：fx)21nx+x2+3x. 解：(1)f(x)=emx+m)十2(c+1),则(O)=m+2, ,x=0处的切线与y=(2m十3)x平行， f(0)=2m+3,即2+m=2m十3，即m=一1. fx)=-er(x+1)+2(x+1)=x+1)(2-e) 由fx)>0得-1x<1n2,由rx)<0得x<-1或x>1n2, fx)在（一o,一1），(1n2,+o)单谓递减，在(-1,1n2)单调递增， fx)在x=-1处取得极小值f(-1)=1e,在x=ln2处取得极大值f(1n2)=1n2 +1. (2)证明：设g(x)=f(x)-lnx-x2-3x=1e2xe-l1nx-x+1=1e2xer-ln(xre)+1 x>0), t=xex (t>0),h (t)=te2-1n t++1,h'(t)=t-e2te2, 由h'(t)>0,得>e2,由h'(t)<0,得0<e2, .h()在(0，e2)单调递减，在(e2,+o)单调递增， .h0≥h(e2)=e2e2-2+1=0. ∴g(x)20,fx)-1nx-x2-320, fx)2lnx+x2+3x成立. 4.(2023·宁德模拟)已知函数f(x)=e+ax十a. (1)判定函数fx)的单调性： (2)求证：1一x-xlnx<exx+1·(e-2+1). 解：(1)由题意得f(x)=ex+a, 当20时，f(x)>0,所以fx)在R上单调递增： 当a<0时，令e+a>0,得x>ln(-a),令e+a<0,得x<ln(-a), 所以此时fx)的单湖递增区间为(1n(一a),十o),单调递减区间为（一o,1n(一a). 综上，当a≥0时，f(x)在R上单谓递增：当a<0时，fx)的单调递增区间为(1n(一a), 十o),单调递减区间为（一o,ln(一a))」 ·独家授权侵权必究· 第3页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXkc0m● 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：令g(x)=1-x-xlnx,g'(x)=-1-(1nx+1)=-lnx-2, 由g'x)>0得0x<e-2;由g'x)<0得x>e-2 所以函数g(x