课时跟踪检测(21) 题型精研——利用导数研究不等式恒(能)成立问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第1页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（二十一） 题型精研一一利用导数研究不等式恒（能）成立问题 1.设函数f代x)=nx十ax(a为常数) (1)讨论函数f孔x)的单调性： (2)不等式fx)≥1在x∈(0,1]恒成立.求实数a的取值范围， 解：（1)x)的定义域为(0，十o∞). f(x)=-ax2+1x=x-ax2. 当a≤0时.又x>0.x-a>0.f(x)>0 ∴f孔x)在定义域(0，十∞)单调递增： 当a>0时.若xa,则f(x)>0,fx)单调递增： 若0<x<a,则f(x)<0.f孔x)单调递减 综上可知，当a≤0时.f孔x)在(0，十o)单调递增： 当a>0时.f孔x)在☒间(0.a)单调递减，在☒间(a,十o∞)单调递增， (2)x)21-aX+lnx21÷ax2-lnx+1#a2-nx+x对任意x∈(0,1]恒成立 令g(x)=-dnx+x.x∈(0,1]. 则g(x)=-lnx-x1x+1=-nx之0.x∈(0,1]. ∴g(x)在(0,1]单调递增.g(x)max=g(1)=1. a≥1，故a的取值范围为[1.十oo). 2.已知曲线孔x)=(x+1)Inx-12x2-ax+b(a,b∈R)在x=1处的切线经过坐标原 点 (1)求b的值： (2)若f孔x)≤0，求a的取值范围！ 解：(1)：f(x)=lnx+X+1x-x-a, ∴f(1)=1-a,又1)=-12-a+b .f孔x)在x=1处的切线为y+12+a一b=(1一a)(x一1).又该切线过原点.12+a一b =-1十a,解得b=32. (2)1)得fx)=(x+1)lnx-12x2-ax+32.f孔x)定义域为0，+0) 若x)≤0恒成立.则a2\alvs4al小co1(1+\f(1x)lnx-12x+32x. 合g(x)=\alvs4al八co1(1+f(1x)lnx-12x+32x, 则g(x)=-2lnx-x2+2x-12x2. 令h(x)=-2lnx-x2+2x-1. ·独家授权侵权必究· 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 则h'(x)=-2(x2-x+1)x. :x2-x+1>0恒成立.∴h'(x)<0,h(x)在0，+∞)上单调递减 又h(1)=0.∴当x∈(0,1)时.h(x>0:当x∈(1，+∞)时.h(x)<0: ∴g(x)在(0,1)上单调递增.在(1，十∞)上单调递减.∴g(x)max=g(1)=一12+32=1 .a≥1.即a的取值范国为1，十oo). 3.已知函数fx)=x2+(a+1)x-lnx,g(x)=x2+x+2a+1. (1)若f孔x)在(1，十∞)单调递增.求实数a的取值范围： (2)当x∈[1，e]时.fxX)<g(x)恒成立.求实数a的取值范围， 解：(1)已知fx)=x2+(a+1)x-nx,得 f(x)=2x+(a+1)-1x. 依题意知x∈(1.+0)时.2x+(a+1)-1x20恒成立.即a+1≥1x-2x. 合k(x)=1x-2xx∈(1.+0) K(x)=-1x2-2<0.∴.k(x)在(1.十∞)单调递减.k(x)<k(1)=-1.∴a+1≥ -1.即a≥一2.实数a的职值范围为[一2，十∞). (2)合p(x)=fx)-g(x)=ax-lnx-2a-1.x∈[1，e].则只需p(x)max<0即可. .p/(x)=a-1x=ax-1x. 当a≤0时.p(x)<0,∴p(x)在1.e]单调递减 ∴p(x)max=p(1)=-a-1. .-a-1<0.即a>-1..-1<a≤0. 当a>0时.当x∈alvs4al小co1(0,1f(1a)时.p(x)<0, 当x∈alvs4al小co1(0f(1a).+o)时.p'(x)>0. ∴p(x)在alvs4al小co1(0,1f(1a)单调递减在alvs4\al小co1(0f(1a).+oo)单调递 增..要使p(x)max<0. 只需p010<0,p0e口<0，a>0,即-a-1<0,ae-2a-2<0,a>0,解得0 <a<2e-2.综上，实数a的取值范围为alvs4al小co1(-1,1f(2e-2). 4.已知函数fx)=x-(a+1)lnx-ax(a∈R).g(x)=12x2+e×-xe*, (1)当x∈[1.e]时.求fx)的最小值： (2)当a<1时，若存在x∈[e.e2].使得对任意的x∈[-2,0].x1)<g()成立.求 a的取值范围， 解：(1)f(x)=(X-1)(x-a)x2. ①当a≤1.x∈[1.e]时.f(x)20. fx)单调递增.f升x)min=1)=1