四川省泸县第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学（理）试题

泸县一中高2021级高三上学期开学考试 数学（理工类） 本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则 A． B． C． D． 2．设集合，，则 A． B． C． D． 3．若x，y满足约束条件，则的最小值为 A．1 B．7 C．9 D．10 4．已知命题，命题，则下列命题是真命题的是 A． B． C． D． 5．近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地、两所医院因发热就诊的患者中分别有、被确诊为“甲流”感染，且到医院就诊的发热患者人数是到医院的四倍.现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是 A．0.785 B．0.666 C．0.592 D．0.235 6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为 A．1640 B．1560 C．820 D．780 7．已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为 A． B． C． D． 8．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：） A．75 B．74 C．73 D．72 9．已知锐角满足，则 A． B． C． D．1 10．已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为 A． B． C． D． 11．已知函数的两个极值点分别为，若过点和的直线在轴上的截距为，则实数的值 A．2 B． C．或 D．或2 12．若，则 A． B． C． D． 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中的系数是 （用数字作答）． 14．若曲线与曲线有两条公切线，则的值为 ． 15．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为 . 16．已知，给出以下命题： ①当时，存在，有两个不同的零点 ②当时，存在，有三个不同的零点 ③当时，对任意的，的图象关于直线对称 ④当时，对任意的，有且只有两个零点 其中所有正确的命题序号是 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。 17．（12分）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.   (1)求的面积； (2)求的值及的长度. 18．（12分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程.为了解广大市民是否实时关注了这一事件，随机选取了部分年龄在20岁到70岁之间的市民作为一个样本，将此样本按年龄，，，，分为5组，并得到如图所示的频率分布直方图.   (1)求图中实数的值，并估计样本数据中市民年龄的众数； (2)为进一步调查市民在日常生活中是否关注国家航天技术发展的情况，现按照分层抽样的方法从，，三组中抽取了6人.从这6人中任意抽取3人了解情况.记这3人中年龄在的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望. 19．（12分）图1是直角梯形，，，，，，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．   (1)求证：平面平面； (2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为； 求平面与所成角的余弦值． 20．（12分）在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左焦点和右焦点. (1)设是椭圆上的任意一点，求取值范围； (2)设，直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程. 21．（12分）设函数. (1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围； ①当时，； ②在上单调递增. (2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计