2.1 等式与不等式性质（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式与不等式性质 第二章 一元二次函数、方程与不等式 问题导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示. 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某段路限速40； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质含量应不少于2.3%； 问题导入 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于(3)，设的三条边为则 对于(4)，如图，设是线段外的任意一点，垂直于，垂足为，是线段上不同于的任意一点，则 新知探索 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 元万本 单价提高元销量减少2000本 单价提高元销量减少2万本 解：设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为： ① 新知探索 ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围. 如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质. 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 新知探索 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是.那么，当点在点的左边时，；当点在点右边时，. 新知探索 关于实数大小的比较，有下列基本事实： 如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: ; ; 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小. 例析 例1.比较和的大小. 解：∵ ∴ 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法. 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 新知探索 右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成图.在正方形中有4个全等的直角三角形. 新知探索 设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为. 由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式： 这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为. 新知探索 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有： 于是就有 新知探索 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 事实上，利用完全平方公式，得： 因为，， 当且仅当时，等号成立，所以. 因此，由两个实数大小关系的基本事实， 得，当且仅当时，等号成立. 新知探索 关于两个实数大小关系的基本事实为研究基本不等式的性质奠定了基础.那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发. 提示：运算中的不变性就是性质. 思考1：请同学们先梳理等式的基本性质，在观察他们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 新知探索 等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) 如果，那么； 性质2(传递性) 如果，,那么； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么； 性质5(可除性) 如果，那么 可以发现，性质1,2反映了相等关系自身的性质，性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. 新知探索 思考2：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质： 性质1(对称性) 如果，那么；如果，那么 即 性质2(传递性) 如果，,那么 即， 我们来证明性质2： 由两