专题03 利用正、余定理三角形（倍角定理、中线长定理）（含解析）-2024年高考数学重点专题突破（解三角形篇、新高考专用）

专题03倍角定理、中线长定理 1. 倍角定理 在中，三个内角的对边分别为, (1)如果,则有: (2)如果,则有: (3)如果,则有: 2. 倍角定理的逆运用 在中，三个内角A、B、C的对边分别为, (1)如果,则有:。 (2)如果,则有:。 (3)如果,则有:。 3. 中线长定理：在中为的中线，则中线定理: 推导过程：在中，，在中，，联立两个方程可得： 【点睛】灵活应用同角得余弦定理，适用在解三角形题型中. 4. 向量法： 推导过程：由，则= 所以 【点睛】适用于已知中线求面积 5. 角形式，核心技巧： 在中，；在中， 题型一、倍角定理 例1. 在中，角所对的边分别是．若B=2A，，则 【答案】 【解析】秒杀解法：∵B=2A，由倍角定理得：，即， 常规解法：由正弦定理得，∵B=2A，，∴，即.∵，∴，∵，∴，∴ 所以，所以. 题型二、倍角定理的逆运用 例2. 在中，角所对的边分别是．若 ，且，则 【答案】 【解析】∵，∴，∴A=2B， ∵，∴，即，∵ ∴，∵，∴，∴ 题型二、中线长定理 例3. 如图，在中，为的中点，且,    (1)证明：； (2)若，求． 【答案】 (1) 证明见解析 (2)． 【解析】（1）证明：在中，为的中点，所以， 则， 即，又因为， 则，则． （2）解：设，则，因为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 两式相加得： 在中，由余弦定理得：， 得：，又，所以． 例4.（已知中线求其它）在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，且边上的中线长为4，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），由正弦定理得：， 因为，所以， 故，即， 因为，所以，故， . （2）设的中点为，则，两边同时平方得： ，①， 在中，由余弦定理得②， ①-②得，则， . 【解题技巧】利用中线的向量性质，结合余弦定理求出，用面积公式求的面积. 例5.（与中线有关的最值或取值范围）在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 由正弦定理得，整理得，即， 因，所以，得，则， 因为，所以.  如图，设边上的中点为，在中，由余弦定理，得，又， 所以 由得代入上式， 得，当且仅当时取等，所以AC边上中线长的最小值为. 故答案为：. 一、单选题 1．已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，M为边BC上一点，，△ABC的面积为4，则∠BAC的余弦值是（　　） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．在中，若，则cosB等于（    ） A． B． C． D． 5．已知中，角的对边分别为，且，为的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．中，内角的对边分别为边上的中线，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的最大值为 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（    ）． A． B．面积的取值范围为 C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为 三、解答题 9. 在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，AD为BC边上的中线，求. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为中点，求的长． 11. 如图所示，在中，已知点在边上，且，，.    (1)若，求线段的长； (2)若点是的中点，，求线段的长. 12．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，边上的中线，且，求． 13．已知中，为边上的点． (1)若为的中点，且，求线段的长； (2)若平分 ①若，求线段的长： ②求线段长的取值范围． 14．如图，在中，，且．      (1)求的值； (2)若，，求的面积． 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，D为BC边的中点． (1)求角C的大小； (2)若，，求边AB的值． 1．【答案】C 【解析】由已知可得，，根据等面积法得， 所以． 故选：C 2．【答案】A 【解析】由题设， 所以，故， 又，故，，故， 在为等腰三角形，且，则， 由余弦定理知：， 综上，. 故选：A 3．【答案】D 【解析】由于向量与平行， 所以，由正弦定理得， 由于所以， 由于，所以. ，两边平方得 ， 所以.故选：D 4．【答案】D 【解析】在中，由正