第23章 专题四 运用旋转知识作辅助线-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(人教版)

年级上册·RJ 数 学 第二十三章　旋转 专题四　运用旋转知识作辅助线 1.【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①所示，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数. 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程. 解：【问题解决】 思路一： 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，如图①所示.则∠PBP'＝90°，△ABP'≌△CBP.∴BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3.在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2， ∴∠BPP'＝45°.根据勾股定理，得PP'＝2. ∵AP＝1，∴AP2＋PP'2＝9＝AP'2， ∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°， ∴∠APB＝∠APP'＋∠BPP'＝90°＋45°＝135°. 【类比探究】 如图②所示，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数. 解：【类比探究】 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，如图②所示. 则∠PBP'＝90°，△ABP'≌△CBP. ∴BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝. 在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1， ∴∠BPP'＝45°.根据勾股定理，得PP'＝. ∵AP＝3，∴AP2＋PP'2＝11＝AP'2， ∴△APP'是直角三角形， 且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'－∠BPP'＝90°－45°＝45°. 2.阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①所示，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数. 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　⁠. 150°　 （2）基本运用： 请你利用第（1）题的解答方法，解答下面问题. 已知如图②所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋FC2. 解：如图所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，由旋转的性质，得AE'＝AE，CE'＝BE， ∠CAE'＝∠BAE，∠ACE'＝∠B，∠EAE'＝90°. ∵∠EAF＝45°，∴∠E'AF＝∠CAE'＋∠CAF＝∠BAE＋∠CAF＝∠BAC－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠EAF＝∠E'AF. 在△EAF和△E'AF中， ∴△EAF≌△E'AF（SAS）.∴E'F＝EF. ∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E'CF＝45°＋45°＝90°. 由勾股定理，得（E'F）2＝（CE'）2＋FC2， 即EF2＝BE2＋FC2. $$