第22章 专题三 二次函数的综合应用-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(人教版)

年级上册·RJ 数 学 第二十二章　二次函数 专题三　二次函数的综合应用 ⁠ 线段和最小值问题 1.如图所示，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B，C，与x轴另一交点为A，顶点为D. （1）求抛物线的函数解析式. 解：（1）直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于B，C两点，则点B，C的坐标分别为（3，0），（0，3），将点B，C的坐标代入二次函数解析式，得解得故抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，则x＝－1或3，故点A（－1，0）. （2）在x轴上找一点E，使EC＋ED的值最小，求EC＋ED的最小值. 解：（2）如图所示，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点E，连接EC，则此时EC＋ED值最小.函数图象顶点D的坐标为（1，4），点C'的坐标为（0，－3）.设直线C'D的函数解析式为y＝kx＋b，将C'，D的坐标代入一次函数解析式并解得∴直线C'D的函数解析式为y＝7x－3，当y＝0时，x＝，故点E，则EC＋ED的最小值为DC'＝＝5. ⁠ 图形面积的最大值问题 2.如图所示，抛物线y＝x2＋x－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其对称轴交AC于点D. （1）直接写出A，B，C，D四点的坐标. 解：（1）令y＝0，则x2＋x－2＝0，解得x＝－4或1，∴点A的坐标为（－4，0），点B的坐标为（1，0）.令x＝0，得y＝－2，∴点C的坐标为（0，－2）.设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线AC的函数解析式为y＝－x－2. ∵抛物线对称轴为直线x＝－，∴点D的坐标为. （2）在直线AC下方的抛物线上是否存在一点T，使得△ADT的面积最大？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在.如图所示，设T(m，m2＋m－2)，连接AT，TD，作TG∥OC交AC于G，则G.∴S△ADT＝S△TGA＋S△TGD＝×(－m－2－m2－m＋2)×＝－（m＋2）2＋. ∵－＜0，∴当m＝－2时，△ADT的面积最大，此时点T的坐标为（－2，－3）. ⁠ 探究平分三角形面积的条件问题 3.如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（1，0）和B（0，5）. （1）求这个抛物线的函数解析式. 解：（1）把（1，0），（0，5）代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得故抛物线的函数解析式为y＝－x2－4x＋5. （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积. 解：（2）令y＝0，则0＝－x2－4x＋5，解得x1＝1，x2＝－5，∴C（－5，0），由y＝－x2－4x＋5＝－（x＋2）2＋9，得顶点D的坐标为（－2，9）.过顶点D作DE⊥x轴交线段BC于E点，如图①所示，由点B，C得直线BC的函数解析式为y＝x＋5，∴当x＝－2时，y＝3，∴点E的坐标为（－2，3），∴DE＝6，∴S△BCD＝S△BDE＋S△CDE＝×5×6＝15. （3）点P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点.是否存在点P，使得线段BC把△PCH分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在.如图②所示，若BC把△PCH分成面积相等的两部分，则需PH与线段BC的交点是线段PH的中点. 设PH与线段BC的交点为Q，设点P（x，0），则Q（x，x＋5），H（x，－x2－4x＋5），由HQ＝QP，得－x2－4x＋5－（x＋5）＝x＋5，解得x1＝－1，x2＝－5（舍去），∴存在这样的点P，其坐标为P（－1，0）. ⁠ 探究三角形全等的条件问题 4.如图所示，抛物线y＝－x2＋m－3与x轴交于A，B两点，且OA＝OC.求： （1）求m的值与抛物线的函数解析式. 解：（1）∵当x＝0时，y＝－x2＋m－3＝m－3，∴C（0，m－3）.∵OA＝OC＝m－3，∴A（m－3，0），把A（m－3，0）代入y＝－x2＋m－3，得＋m－3＝0，解得m1＝5，m2＝3（舍去），∴m的值为5，∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2. （2）在抛物线上是否存在另一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 解：（2）在抛物线上不存在另一点M，使△MAC≌△OAC.理由如下：∵△OAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴当△MAC是以AC为斜边的等腰直角三角形时，△MAC≌△OAC，则点M为AC的垂直平分线与抛物线的交点，于是此时△MAC不能为直角三角形，∴在抛物线上不存在另一点M，使△MAC≌△OAC. ⁠ 探究特殊三角形是否成立问题 5.（山东临沂兰陵期末）如图所示，已知抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接AC，BC. （1）判断△ABC的形状，并