第09讲 解三角形及其应用举例-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第09讲 解三角形及其应用举例 考试要求　1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题． 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 1.下列结论正确的是( ) (1)东南方向与南偏东45°方向相同． (2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是. (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. (4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为 2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 3.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．(30＋30)m B．(15＋30)m C．(30＋15)m D．(15＋15)m 4．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为________海里． 考点一　解三角形的应用举例 角度1距离问题 例 1 （2023·江西景德镇期末）江西浮梁地大物博，山清水秀．据悉某建筑公司在浮梁投资建设玻璃栈道、摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃栈道，现需要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工需要，特请昌飞公司派直升机辅助测量，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机测量的数据有在A处观察山顶M，N的俯角为：α1＝60°，β1＝30°，在B处观察山顶M，N的俯角为：α2＝45°，β2＝75°，飞机飞行的距离AB为500 m，请问：用以上测得的数据能否计算出两山顶间的距离MN，若能，请帮助该建筑公司求出MN，结果精确到1 m，若不能，请说明理由． (参考数据：≈1.414，≈1.732，≈8.2，≈1.64) 【对点演练1】为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为(　　) A．10 km B．30(－1)km C．30(－1)km D．10 km 【对点演练2】(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　) A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km 角度2 高度问题 例2 (2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为(　　) (参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) A．11米 B．20.8米 C．25.4米 D．31.8米 【对点演练1】[2023·湖北襄阳五中月考]如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得P的仰角为30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60(单位：m)，(点A，B，O在同一水平地面上)，则大跳台最高高度OP