专题05异面直线间的距离（1个知识点4种题型1种高考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

专题05异面直线间的距离（1个知识点4种题型1种高考考法） 【目录】 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：异面直线间的距离 【方法二】 实例探索法 题型1：异面直线间的距离 题型2：点面距离 题型3：线面距离 题型4：面面距离 【方法三】 仿真实战法 考法：直线与平面的距离 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交． 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解。因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点。 【方法二】实例探索法 题型一：异面直线间的距离 【例1】（2021·上海市市西中学高二期中）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=2，则异面直线B1B与DC之间的距离为________. 【变式1】（2021·上海市延安中学高二期中）已知正方体的棱长为1，异面直线与的距离为____________. 【变式2】（2021·上海·华师大二附中高二期中）若正四面体的棱长为，则异面直线与之间的距离为____________. 【变式3】（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________． 【变式4】四面体中，为等腰直角三角形，，，且，则异面直线与的距离为_____________ 【变式5】若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为___________． 【变式6】已知线段平面，为垂足，，且与平面成30°角，．求： （1）异面直线与间的距离； （2）、两点间的距离． 题型二：点面距离 【例2】（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【变式1】（2022秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在棱长为1的正四面体中，点到平面的距离为______． 【变式2】（2023春·上海杨浦·高二同济大学第一附属中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．    【变式3】（2022秋·上海嘉定·高二校考期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. (1)求与平面所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【变式4】（2021秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）如图，四面体中，，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【变式5】（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，． (1)求与平面所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 题型三：线面距离 【例3】（2022·上海·高二专题练习）在长方体中，，，，那么到平面的距离为______. 【变式1】（2023·上海·高二专题练习）已知长方体的棱，和的长分别为3cm、4cm和5cm，则棱到平面的距离为____________cm 【变式2】（2023·上海·高二专题练习）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________. 【变式3】（2023·上海·高二专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离. 【变式4】（2022·上海·高二专题练习）正四棱锥P—ABCD，棱长都为2，E、F、G分别是棱PA、PB、PC的中点 (1)求证：平面EFG//平面ABCD； (2)求直线AB到平面PCD的距离 【变式5】（2022秋·上海·高二期中）如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由； (3)求EF到平面的距离． 【变式6】（2022·上海·高二专题练习）如图，在长方体中，，，. (1)求直线与平面所成的角的大小； (2)求直线到平面的距离. 【变式7】（2022秋·上海·高二期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【变式8】（2022秋·上海闵行·高二校考阶段练习）如图，在