第十二章 专题(七) 构造全等三角形常用的辅助线-【黄冈金牌之路·练闯考】2022-2023学年八年级数学上册（人教版）

练闯考 数学八年级上册人教版 第十二章全等三角形 专题（七） 构造全等三角形常用的辅助线 类型一：利用倍长中线构造全等三角形 1.如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F,已知AC=BF, ∠DAC=35°，∠EBC=40°，求∠C的度数. A E F B C D 解：如图，延长AD到点M,使得DM=AD,连接BM..AD是△ABC的中线，∴.BD BD=DC, =CD.在△BDM和△CDA中，LBDM=∠CDA, DM=DA, ∴.△BDM≌△CDA(SAS),.∴.BM=AC,∠M=∠CAD=35°，∠C=∠DBM..'BF =AC,.∴.BF=BM,∴.∠M=∠BFM=35°.∴.∠MBF=180°-∠M-∠BFM= 110°..'∠EBC=40°，.∴.∠DBM=∠MBF-∠EBC=70°，.∠C=∠DBM=70°. B 类型二：利用截长补短法构造全等三角形 2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,AD, CE交于点O. (1)求∠AOC的度数： (2)求证：AC=AE十CD. E B D C 解：(1).·∠ABC=60°，.∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=120°..AD,CE分 别平分LBAC,∠ACB,∴L0AC+LACE=2(LBAC+LACB)=60°，∴LA0C= 180°-（∠0AC+∠ACE)=120°. (2)证明：在AC上截取AF=AE,连接OF,∴.'AD平分∠BAC,..∠BAD=∠CAD. AE=AF, 在△AOE和△AOF中，∠BAD=∠CAD,∴.△AOE≌△AOF(SAS). A0=A0, .∴.∠A0E=∠A0F.∴.·∠A0C=120°，.∴.∠A0E=∠A0F=180°-∠A0C= ∠FCO=∠DCO, 60°.∴.∠C0F=∠COD=60°.在△CF0和△CD0中，C0=C0, ∠FOC=∠DOC, .∴.△CFO≌△CDO(ASA),..FC=DC,,∴.AC=AF+C=AE+CD. 3.正四边形也就是正方形，它的四条边相等，四个内角都是90°.如图，点E,F 分别在正方形ABCD的边AB,BC上，∠EDF=45°，连接EF.求证：EF=AE十FC M A E B F C 证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD,∠B=∠C= ∠ADC=∠DAB=90°，如图，延长BA,使AM=CF,连接MD.在△AMD和 AM=CF, △CFD中， ∠MAD=∠C,,∴.△AMD≌△CFD(SAS),.∠MDA=LFDC, AD=CD, MD=DF..∠EDF=45,∴.∠ADE+∠FDC=45°，.∴.∠MDE=∠ADM+ ∠ADE=45,.∴.∠MDE=∠EDF.在△EDM和△EDF中， MD=DF, ∠MDE=∠FDE,.∴.△EDM≌△EDF(SAS).∴.EF=EM..'EM=AM+AE DE=DE, =AE+CF,.∴.EF=AE+FC. 类型三：利用角平分线模型构造全等三角形 4.如图，己知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上. (1)求∠AEB的度数： (2)求证：CE=DE. E B 解：(I).AC∥BD,.∴.∠CAB+∠ABD=180°.，'AE平分∠CAB,BE平分∠DBA, ∴.∠EAB=) LCAB,LEBA= ∠ABD.∴.∠EAB+∠EBA=90°，∴.∠AEB=90°. (2)证明：如图，在AB上截取AF=AC,连接EF,在△ACE和△AFE中， AC=AF, ∠CAE=∠FAE,∴.△MCE≌△AFE(SAS),∴.CE=FE,∠CEA=∠FEA..∠CEA+ AE=AE, ∠DEB=90°，∠FEA+∠FEB=90°，.∴.∠DEB=∠FEB.在△DEB和△FEB中， ∠DEB=∠FEB, EB=EB, ∴.△DEB≌△FEB(ASA),∴.ED=EF,∴.ED=CE. ∠DBE=∠FBE, 5.如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA,OB交于点C和D,求证：PC=PD A M C P B D