江苏省南通市如皋中学2024届高三创新实验班夏令营数学试题

2024届江苏省如皋中学高三创新实验班夏令营试题 数学 本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 向量， 则在上投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 5. 已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（ ） A. B. C. D. 4 7. 正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知， ，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 10. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ） A. 对于圆O，其“太极函数”有1个 B. 函数是圆O的一个“太极函数” C. 函数不是圆O的“太极函数” D. 函数是圆O一个“太极函数” 11. 定义在上函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 12. 已知异面直线与直线所成角为，平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，点为平面外一定点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线所成角均为的直线有3条 B. 过点且与平面所成角都是的直线有4条 C. 过点作与平面成角的直线，可以作无数条 D. 过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，，恰有1个空盒子，则放法有___________种. 14. 已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________. 15. 已知函数在上的值域为，则的取值范围为_________. 16. 已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 （1）求的极值； （2）若，求的值，并证明： 18. 的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）求的最小值． 19. 如图，在正四棱柱中，，M是棱上任意一点． （1）求证：； （2）若M是棱中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值． 20. 已知数列中，，. （1）求的值，并猜想数列的通项公式； （2）证明数列是等差数列. 21. 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得