陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第一次联考理科数学试题

高三联考数学（理科） 考生注意： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2. 请将各题答案填写在答题卡上. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. 9 B. 3 C. 6 D. 4. 某汽车集团第一年全年生产新能源汽车1万辆，在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都近似为前一年的150%，那么第8年全年新能源汽车的产量约为（ ） A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标.若从这6只小白鼠中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某机构对名网络购物者年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在内，其频率分布直方图如图所示，则这名购物者消费金额的平均数约为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. （万元） B. （万元） C. （万元） D. （万元） 8. 设是定义在上的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 在三棱锥中，，的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 11. 设数列满足，且，则数列的前9项和为（ ） A B. C. D. 12. 已知函数，若存在极值点，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在展开式中，的系数为_________． 14. 体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为______. 15. 已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则______. 16. 已知函数，当取得最大值时，______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 在中，角的对边长分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 18. 为加强学生对垃圾分类意义的认识，让学生养成良好的垃圾分类的习惯，某校团委组织了垃圾分类知识问卷调查.从该校随机抽取100名男生和100名女生参与该问卷调查，已知问卷调查合格的人中女生比男生多10人，且共有50人不合格. （1）完成以下2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为问卷调查是否合格与学生性别有关联； 问卷调查合格 问卷调查不合格 合计 男生 女生 合计 （2）用频率近似概率，从该校随机抽取3名学生进行垃圾分类知识问卷调查，求这3名学生问卷调查合格的人数X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. 在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，. （1）证明：. （2）求二面角的余弦值. 20. 已知函数. （1）若直线与曲线相切，求a； （2）若存在，使得成立，求a的取值范围. 21. 已知双曲线：的焦距为，且焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线的标准方程； （2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程； （2）直线与曲线交于两点，，求. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知函数. （1）解不等式； （2）记最小值为，若正数满足，求的最小值. 高三联考数学（理科） 考生注意： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟