铺路帮手-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年八年级上册初二数学（华东师大版）

第 11 章　 数的开方 11. 1　 平方根与立方根 ⦾考点 1 平方根 定义 性质 平方根 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫 做 a 的平方根. 如果 x2 =a,则 x 是 a 的平 方根. 一个正数的平方根有两个,它们互为相 反数;0 的平方根是 0;负数没有平方 根. ⦾考点 2 算术平方根 平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 定义 如果一个数的平方等于 a,那么 这个数叫做 a 的平方根. 正数 a 的正的平方根,叫做 a 的算术平方根. 表示方法 正数 a 的平方根表示为±　 a . 正数 a 的算术平方根表示为　 a . 个数及取 值不同 一个正数的平方根有两个,一 正一负且互为相反数. 一个正数的算术平方根只有一 个,是正数. 联系 包含关系 平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是它的平方根中 的正的平方根. 存在条件 只有非负数才有平方根和算术平方根. ⦾考点 3 立方根 定义 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根. 性质 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0 的立方根是 0. 表示 数 a 的立方根,记作3 a ,读作“三次根号 a” . 其中,a 是被开方数,3 是根指数. 􀳅 平方根性质的应用 例 1:如果一个正数 m 的两个平方根分别是 2a-3 和 a-9,求 2m-2 的值. 解:∵ 一个正数的两个平方根互为相反数, ∴ (2a-3) +(a-9)= 0,解得 a= 4, ∴ 这个正数为 m= (2a-3) 2 = 52 = 25, ∴ 2m-2 = 2×25-2 = 48. 􀳅 算术平方根非负性的应用 例 2:若　 a+1 + | b-4 | = 0,那么 a-b= (　 　 ) A. 1　 　 　 　 B. -1　 　 　 　 C. -3　 　 　 　 D. -5 【解析】∵ a+1+|b-4| =0, a+1≥0, |b-4|≥0,∴ a+1= 0,b-4= 0,解得 a=-1,b= 4,∴ a-b= -1 -4=-5. 答案:D 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·HS·数学　 第 1 页 􀳅 平方根性质的应用 变式 1:已知 2n-3 与 4n-5 是某个非负数的平方根,求该非负数的值. 􀳅 算术平方根非负性的应用 变式 2:已知 | a-2 | + a+b+2 = 0. (1)求 a,b 的值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)求 a-2b 的平方根. 11. 2　 实数 ⦾考点 1 无理数 1. 无理数:无限不循环小数叫做无理数. 2. 有理数与无理数的区别: (1)有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数. (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是 1 的分数),而无理数不能写成 分数的形式. ⦾考点 2 实数及其分类 实数 按概念分 有理数 整数 分数{ 无理数———无限不循环小数 { 按符号分 正实数 正有理数 正整数 正分数{ 正无理数 { 0 负实数 负有理数 负整数 负分数{ 负无理数 { ì î í ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ⦾考点 3 实数与数轴上点的关系 实数与数轴上 点的关系 数轴上的每一点必定表示一个实数;反过来,每一个实数(有理数或无理数) 都可以用数轴上的一个点来表示. 换句话说,实数与数轴上的点一一对应 实数的大小比 较 有理数的大小比较在实数范围内仍然成立,对于数轴上的任意两个点,右边 的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·HS·数学　 第 2 页 ⦾考点 4 实数的有关概念 在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义分别和有理数范围内的意义完全一样. ⦾考点 5 实数的运算 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用. 实数混合运算顺序与有理数混合运算 的顺序基本相同,先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减,同级运算按照从左到右的顺序进 行,有括号的先算括号里的. 􀳅 实数的相关概念的运用 例 1:已知实数 a,b,c,d,e,且 a,b 互为倒数,c,d 互为相反数,e 的绝对值为 2 ,求 1 2 ×ab+c +d 5 -e 的值. 解:由题意可得:ab= 1,c+d= 0,e= ± 2 , (1)当 e= 2时,原式= 1 2 ×1+ 0 5 - 2 = 1 2 - 2 ; (2)当 e= - 2时,原式= 1 2 ×1+ 0 5 + 2 = 1 2 + 2 . 综上所述:原式的值为 1 2 - 2或 1 2 + 2 . 􀳅 实数与数轴上点的关系的应用 例 2:如图,数轴上 A、B 两点分别对应实数 A、B,则下列结论正确的是(　 　 ) A