第二篇 专题04 立体几何-【师大金卷】2024高考数学一轮二轮衔接复习小卷练透阶段测试卷（新高考）

新高考数学２０— ２　 专题０４　立体几何 考向一　立体几何中的角度问题 １．(２０２３􀅰山东省淄博一模)已知多面体ABCDEF 中,AD∥BC∥ EF,且AD＝CD＝DE＝４,BC＝EF＝２,∠BCD＝∠FED＝π３． (１)证明:AD⊥BF; (２)若BF＝２ ６,求直线CD 与平面ABF 所成角的正弦值． ２．(２０２３􀅰辽宁省名校联盟联考)如图所示的几何体为一个正四棱 柱被两个平面AEH 与CFG 所截后剩余部分,且满足EH∥FG ∥BD,FG＝BD＝２ ２,EH＝ ２． (１)当BF多长时,AE⊥CG,证明你的结论; (２)当BF＝AB 时,求平面AEH 与平面CFG 所成角的余弦值． ３．(２０２３􀅰山东日照一模)如图,已知圆锥P－ABC,AB 是底面圆O 的直径,且长为４,C是圆O 上异于A,B 的一点,PA＝２ ３．设二 面角P－AC－B 与二面角P－BC－A 的大小分别为α与β． (１)求 １ tan２α ＋ １ tan２β 的值; (２)若tanβ＝ ３tanα,求二面角A－PC－B 的余弦值． ４．(２０２３􀅰湖北七市联合统一调研测试)如图,在斜三棱柱ABC－ A１B１C１ 中,底面△ABC 是边长为２的正三角形,侧面BCC１B１ 为菱形,已知∠BB１C＝６０°,AB１＝a． (１)当a＝ ６时,求斜三棱柱ABC－A１B１C１ 的体积; (２)设点P 为侧棱BB１ 上一动点,当a＝３时,求直线PC１ 与平面 ACC１A１ 所成角的正弦值的取值范围． 考向二　立体几何中的距离问题 ５．(２０２３􀅰高三原创模拟)在直四棱柱ABCD－A１B１C１D１ 中,底面 ABCD 是菱形,AC交BD 于点O,∠BAD＝６０°,AB＝２ ３． (１)若AA１＝３,求证:平面A１OD１⊥平面BDC１; (２)若直线OD１ 与平面A１OB１ 所成角的正弦值为 ４２ ７ ,求直四棱 柱ABCD－A１B１C１D１ 的高． ６．(２０２３􀅰山东菏泽一模)如图,直四棱柱ABCD－A１B１C１D１ 中, AD⊥CD,AD∥BC,AD＝CD＝２,BC＝３,A１C１ 与B１D１ 交于点 E,G为棱BB１ 上一点,且BB１＝３BG,点C１ 到平面A１BD 的距 离为１０ １７ １７ ． (１)判断AG是否在平面AED１ 内,并说明理由; (２)求平面AD１E 与平面AA１D１ 所成角的余弦值． 新高考数学２０—１ 新高考数学２０— ４　 考向三　立体几何中的探究问题 ７．(２０２３􀅰广东省汕头金中、湛江一中、东莞东华、广州六中四校联 考)已知四棱锥P－ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,侧棱 PA⊥平面ABCD,点M 在棱DP 上,且DM＝２MP,点N 是在棱 PC 上的动点(不为端点),如图． (１)若N 是棱PC 的中点, ①画出△PBD 的重心G(保留作图痕迹),指出点G 与线段AN 的关系,并说明理由; ②求证:PB∥平面AMN; (２)若四边形ABCD 是正方形,且AP＝AD＝３,当点 N 在何处 时,直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值取最大值． ８．(２０２３􀅰河南省部分名校质量联合检测)如图,在四棱锥P－ABＧ CD 中,底面ABCD 是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,△PAB 为 等边三角形,O,E 分别为棱AB,CD 的中点． (１)棱PD 上是否存在一点F,使得EF∥平面POC? 若存在,求 出PF FD 的值;若不存在,说明理由; (２)若AB＝AD＝２BC,当二面角P－AB－D 为１２０°时,证明:直 线PC与平面PAB 所成角的正弦值小于 ３４． 考向四　立体几何中的折叠问题 ９．(２０２３􀅰辽宁省沈阳市教学质量监测(一))如图,在矩形ABCD 中,AB＝４,E 为边CD 上的点,CB＝CE,以BE 为折痕把△CBE 折起,使点C到达点P 的位置,且使二面角P－BE－C为直二面 角,三棱锥P－ABE 的体积为４ ２３ ． (１)求证:平面PAB⊥平面PAE; (２)求二面角B－PA－D 的余弦值． １０．(２０２３􀅰湖南省新高考教学教研联盟第一次联考)如图①,已知 △AB′C 是边长为２的等边三角形,D 是AB′的中点,DH⊥ B′C,如图②,将△B′DH 沿边DH 翻折至△BDH． (１)在线段BC 上是否存在点F,使得AF∥平面BDH? 若存 在,求BF FC 的值;若不存在,请说明理由; (２)若平面BHC与平面BDA 所成的二面角的余弦值为１３ ,求三 棱锥B－DCH 的体积． 考向五　立体几何中的最值问题 １１．(２０２３􀅰湖北省八市３月联考)如图,六面体ABCD－A１B１C１D１ 的底面ABCD 是菱形,∠BAD＝π３ ,AA１∥BB１∥CC１∥DD１, 且BB１⊥平面A