江苏省如皋中学2024届高三创新实验班夏令营数学试题

第 1页，共 5页 绝密★启用前 2024届江苏省如皋中学高三创新实验班夏令营试题 数学 本试卷共 4页，22小题，满分 150分.考试用时 120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位 号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条 形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2.已知复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，则 的共轭复数为( ) A. B. C. D. 3.向量 ，向量 ，则 在 上的投影向量是 ( ) A. B. C. D. 4.声音的等级 单位： 与声音强度 单位： 满足 火箭 发射时，声音的等级约为 一般噪音时，声音的等级约为 ，那么火箭发射时的声 音强度约为一般噪音时声音强度的 ( ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 5.已知 为双曲线： 的左焦点， 为其右支上一点，点 ，则 周 长的最小值为 ( ) 第 2页，共 5页 A. B. C. D. 6.已知 是 ： 上一点，过点 作圆 ： 的两条切线，切点 分别为 ， ，当直线 与 平行时， ( ) A. B. C. D. 7.正项等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是 ( ) A. 样本 的标准差 B. 样本 的中位数 C. 样本 的极差 D. 样本 的平均数 10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形 纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆 的圆心在原点，若函数的图像将圆 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆 的一个“太极函数”，则( ) A.对于圆 ，其“太极函数”有 个 B.函数 是圆 的一个“太极函数” 第 3页，共 5页 C. 函数 不是圆 的“太极函数” D. 函数 是圆 的一个“太极函数” 11.定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 满足 ( ) A. B. 是奇函数 C. 在 上有最大值 D. 的解集为 12.已知异面直线 与直线 所成角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，直线 与平面 所 成的角为 ，点 为平面 、 外一定点，则下列结论正确的是 A. 过点 且与直线 、 所成角均为 的直线有 条 B. 过点 且与平面 、 所成角都是 的直线有 条 C. 过点 作与平面 成 角的直线，可以作无数条 D. 过点 作与平面 成 角，且与直线 成 的直线，可以作 条 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.将 个相同的小球放入 个编号为 ， ， ， 的盒子中，恰有 个空盒子，则放法有 种 14.已知棱台的上、下底面面积分别为 ， ，高为 ，则该棱台的体积为 ． 15.已知函数 在 上的值域为 ，则 的 取值范围为 ． 16.已知椭圆 的左焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆交 于 ， 两点 点 在 轴上方 ，且 ，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 10分 已知函数 ． 求 的极值； 若 ，求 的值，并证明： ． 18. 12分 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． 求角 ； 求 的最小值． 第 4页，共 5页 19. 12分 如图，在正四棱柱 中， ， 是棱 上任意 一点． 1 求证： ； 2 若 是棱 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值． 20. 12分 已知数列 中， ， ． 求 的值，并猜想数列 的通项公式； 证明数列 是等差数列． 21. 12分 现代排球赛为 局