【数学思想】第3讲：数形结合思想在三角函数中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第3讲 数形结合思想在三角函数中的应用 我国著名数学家华罗庚曾针对数形结合思想作了一首著名的诗：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合，主要指的是数与形之间的一种对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，达到“以形助数”或“以数解形”， 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化。 在三角函数的学习过程中，如三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质。因此，明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，即数形结合思想，来拓宽思维空间，提高解决问题的能力。 例如数形结合思想在含绝对值的三角函数、在三角函数已知零点或极值点求ω及在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中都有广泛的重要应用，而本文会重点就数形结合思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。 【应用一】数形结合思想在含绝对值的三角函数中的应用 我们在学习三角函数的图象与性质时，经常会遇到给定 （）的函数解析式，求周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶性，此时我们可以直接利用公式或整体思想计算而得。但有时也会遇到这样一类题，给定的三角函数解析式中含有绝对值，例如：、、、 等，此时仍然考查周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶性，那么我们该如何求解呢？面对这类题，如果我们能把对应三角函数的图象画出来，借助数形结合思想则可求解上述问题，例如下面这道例题： 【例1】（2023春·山东·高三统考）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于对称 B．函数在上单调递增 C．若，则 D．函数的最小值为 通过观察及上述方法介绍的学习，本题用数形结合思想来求解，那么我们应该怎么去化简函数和画出图象呢？首先先分类讨论去绝对值， 当时，即， 当时，即， 即可绘出函数图像，如下所示： 结合图象即可得到答案 【思维提升】 通过本题我们不难发现，对于给定、、、 等函数解析式,可以先去掉绝对值，再画出图象，从而利用数形结合思想来求解相关问题，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型带绝对值的同类题型求解。 【变式1.1】（2022·湖南·校联考三模）已知函数，现有下述四个结论： ①的最小正周期为；②曲线关于直线对称； ③在上单调递增；④方程在上有4个不同的实根. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式1.2】（2022·安徽·高三模拟）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的增区间为， B．的对称轴为， C．，使得对恒成立 D．，若，则， 【变式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最正周期为 B．若，则 C．在区间上是增函数 D．的对称轴是 【应用二】数形结合思想在三角函数已知零点或极值点求ω的应用 我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的解析式，已知单调性、奇偶性或对称性求ω的范围，我们可以借助整体思想求解即可。但有时也会遇到这样一类题，给定三角函数在确定区间内有几个零点或几个极值点求ω的范围，那么此时我们应该如何求解呢？考虑到题干当中已经给出了确定的零点或极值点个数，如果我们能画出图象，并且能够直观的从图象中读出零点或极值点个数，从而确定区间范围，再而可确定参数ω的范围，则所求问题可求解，那么问题关键是我们能不能作出图象？又该怎样作出图象呢？我们还是可以结合三角函数的图象和性质借助五点作图法来作图，不妨先看下面这道例题： 【例2】（2022秋·山西运城·高三校考）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用辅助角公式把函数名统一，即，此时我们可以换元作图，令，由，则，则，，作图如下： 有4个零点和1个极大值点，即右端点即可求解 【思维提升】 通过本题我们不难发现，在三角函数已知零点或极值点求ω,往往可以数形结合思想来作图求解，如较复杂型函数则可通过诱导公式或三角恒等变换公式,将其转化为形如（）等形式，进而结合三角函数图象与性质可求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数中已知的其他综合条件来求ω的综合问题。 【变式2.1】（2022秋·北京·高三统考阶段练习）设函数在区间上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A