专题02 空间向量基本定理4种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题02 空间向量基本定理4种常见考法归类 1．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 注：平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立． 2．判断三个(或三个以上)向量共面的方法 (1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示． (2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式． 3．利用向量法证明向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有=x＋y或=x＋y＋z（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 4．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0． 5．相关概念 (1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． (2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底． (3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量． (4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 注：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示． （2）基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量． 6．拓展： 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面． 7.基底的判断及应用 （1）构成空间向量的基底不唯一且不共面 （2）空间向量的基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来． （3）用基底表示向量应注意的问题 ①明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示； ②结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； ③只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的． 8.基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 9.用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 共面向量定理 考点二 基底的判断及应用 考点三 用基底表示向量 考点四 空间向量基本定理及其应用 考点一 共面向量定理 1．【多选】（2024秋·高二课前预习）下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 2．【多选】（2023·全国·高二专题练习）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 3．（2023·上海·高二专题练习）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 4．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（20