第二十三章 旋转 专题四 模型拓展——旋转模型(内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年九年级上册数学同步课件PPT（人教版）

数 学 教与学 学导练 教与学 学导练 数学 九年级 上册 配人教版（内文） 专题四 模型拓展——旋转模型 类型一:等边三角形手拉手模型 已知：△AOB与△COD都是等边三角形, 结论: ①△OAC≌△OBD； ②∠AEB＝∠AOB； ③OE平分∠AED. 1.如图Z23－4－1，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO绕点C按顺时针旋转60°得到△ACD，则下列结论不正确的是( ) A．BO＝AD B．∠DOC＝60° C．OD⊥AD D．OD∥AB D 类型二:等腰直角三角形手拉手模型 已知：△AOB与△COD都是等腰直角三角形, 结论: ①△OAC≌△OBD； ②∠AEB＝90°； ③OE平分∠AED. 2.如图Z23－4－2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则AF 的长为______cm． 类型三:正方形手拉手模型 已知:四边形AEFG与四边形ABCD都是正方形, 结论: ①△ABE≌△ADG； ②BE＝DG； ③BE⊥DG. 3. 如图Z23－4－3①，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG. （1）求证：AE＝CG； （2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想； （3）将正方形ABCD，绕点D逆时针旋转一定的角度（小于90度），如图Z23－4－3②，请猜想AE与CG之间的关系，并证明你的猜想. （1）证明：由题意，得AD＝CD，ED＝GD， ∠ADE＝∠CDG＝90°. ∴△EAD≌△GCD（SAS）. ∴AE＝CG. （2）解：猜想：AE⊥CG. 证明：如答图Z23－4－1①，延长EA交CG于H. 由（1）得∠CGD＋∠GAH＝∠CGD＋∠EAD＝∠CGD＋∠GCD＝90°. ∴AE⊥CG. （3）解：猜想：AE＝CG，AE⊥CG. 证明：如答图Z23－4－1②，设AE与CG相交于H，AE与CD相交于O. 由题意，得AD＝CD，ED＝GD， ∠ADE＝90°＋∠GDA＝∠CDG. ∴△EAD≌△GCD(SAS). ∴AE＝CG，∠AED＝∠CGD. ∵∠AED＋∠EOD＝90°，∠EOD＝∠GOH， ∴∠CGO＋∠GOH＝∠AED＋∠EOD＝90°. ∴AE⊥CG. 类型四:等腰直角三角形半角模型 已知:在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，绕点A逆时针旋转△ABD到△ACF，使AB和AC重合.结论: ①△AEF≌△AED； ②EF＝DE，CF＝BD. 4. 如图Z23－4－4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝2，CN＝3，求MN的长. 解：如答图Z23－4－2，将△ABM逆时针旋转90°到△ACF，连接NF. ∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF，∠2＝∠3. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°. ∵∠MAN＝45°， ∴∠NAF＝∠1＋∠3＝∠1＋∠2＝90°－45°＝45°. ∴∠MAN＝∠NAF. 在△MAN和△FAN中, ∴△MAN≌△FAN(SAS). ∴MN＝NF. ∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°， ∴∠FCN＝90°. ∵CF＝BM＝2，CN＝3， ∴在Rt△CFN中，由勾股定理， 得NF＝＝. ∴MN＝NF＝. 类型五:正方形半角模型 已知:在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，绕点A顺时针旋转△ABF到△ADG，使AB和AD重合. 结论: ①△AEF≌△AEG； ②EF＝EG＝BF＋DE. 5. （2020·甘肃）如图Z23－4－5，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. （1）求证：△AEM≌△ANM； （2）若BM＝3，DN＝2，求正 方形ABCD的边长. （1）证明：由旋转的性质，得 △ADN≌△ABE. ∴∠DAN＝∠BAE，AN＝AE，∠D＝∠ABE＝90°. ∴∠ABC＋∠ABE＝180°. ∴点E，点B，点C三点共线. ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°. ∴∠MAE＝∠MAN. 又∵MA＝MA，AE＝AN， ∴△AEM≌△ANM（SAS）. （2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2. ∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN. ∵BE＝DN＝2，∴MN＝BM＋DN＝3＋2＝5. ∵∠C＝90°， ∴MN2＝C