第三章 圆 专题四 模型拓展——圆中经典模型（隐圆问题）(章节提升)-【教与学·学导练】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版（章节专题提升） 第三章　圆 专题四　模型拓展——圆中经典模型（隐圆问题） ·下册· 2 目录 01 模型解读 02 针对训练 模型解读 模型一　定弦定角模型 　　如图XZ3－4－1，若固定线段AB所对的角：∠P的大小为定值，则点P的运动轨迹为过A，B，P三点的圆（点P在优弧、劣弧上运动皆可）. ⁠⇒　⁠ 图XZ3－4－1 返回目录 　　原理：如图XZ3－4－2，在☉O中，弦AB所对同侧的圆周角恒相等，即∠ACB＝∠ADB＝∠AEB. ⁠⇒　⁠ 图XZ3－4－2 返回目录 针对训练 1. （2021广东改编）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，求线段CD长度的最小值. 解：如答图XZ3－4－1， 作△ABD的外接圆圆O（因求CD的最小值，故圆心O在AB的右侧），连接OC， 则当O，D，C三点共线时，CD的值最小. 答图XZ3－4－1 返回目录 ∴△AOB为等腰直角三角形. ∴AO＝BO＝AB·sin 45°＝. ∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠OBC＝∠ABC－∠OBA＝45°. 过点O作OE⊥BC于点E，如答图XZ3－4－1. ∴△OBE为等腰直角三角形. ∴OE＝BE＝OB·sin 45°＝1. ∴CE＝BC－BE＝3－1＝2. ∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°. 返回目录 在Rt△OEC中，由勾股定理，得 OC＝＝＝. ∴线段CD长度的最小值为OC－OD＝－. 返回目录 模型解读 模型二　动点定长模型 　　如图XZ3－4－3，若P为动点，且AB＝AC＝AP，则B，P，C三点共圆，且点A为圆心，AB为半径. ⁠⇒⁠ 图XZ3－4－3 返回目录 　　原理：如图XZ3－4－4，在☉O中，OA＝OB＝OC＝OD；在☉A中，AB＝AC＝AD. ⁠⇒⁠ 图XZ3－4－4 返回目录 针对训练 2. 如图XZ3－4－5，在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，求A'C长度的最小值. 图XZ3－4－5 返回目录 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝6. ∵AM＝AD， ∴AM＝2，MD＝4. 如答图XZ3－4－2，连接CM，过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H. ∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°. 在Rt△DMH中，MD＝4，∠HDM＝60°， 答图XZ3－4－2 返回目录 ∴HD＝MD·cos∠HDM＝2， MH＝MD·sin∠HDM＝2. ∴CH＝CD＋HD＝8. 在Rt△MHC中，由勾股定理，得 MC＝＝2. ∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN， ∴A'M＝AM＝2. 以点M为圆心，AM为半径作圆，则点A'在☉M上. 返回目录 ∴当点M，A'，C三点共线时，A'C的长度取最小值. ∴A'C长度的最小值为MC－MA'＝2－2. 返回目录 模型解读 模型三　直角圆周模型 　　如图XZ3－4－6，若固定线段AB所对的动角：∠C的大小恒为90°，则A，B，C三点共圆，且AB为直径. ⁠⇒⁠ 图XZ3－4－6 返回目录 　　原理：如图XZ3－4－7，在☉O中，若AB是直径，C是圆上的一点，则∠ACB＝90°. ⁠⇒　⁠ 图XZ3－4－7 返回目录 针对训练 3. 如图XZ3－4－8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＋∠PBA＝90°，求线段CP长的最小值. 图XZ3－4－8 解：∵∠PAB＋∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°. ∴点P在以AB为直径的圆上（点P在△ACB内部）. 返回目录 如答图XZ3－4－3，设AB的中点为O，连接OC交☉O于点P，此时CP的值最小. ∵AB＝6，∴OP＝OB＝3. 又∵BC＝4，AB⊥BC， ∴在Rt△OBC中，OC＝＝＝5. ∴线段CP长的最小值为OC－OP＝5－3＝2. 答图XZ3－4－3 返回目录 模型解读 模型四　四点共圆模型 【类型一】 　　如图XZ3－4－9，若动角∠A＋动角∠C＝180°，则A，B，C，D四点共圆. ⁠⇒ ⁠ 图XZ3－4－9 返回目录 　　原理：如图XZ3－4－10，四边形ABCD是☉O的内接四边形，则∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°. ⁠⇒ ⁠ 图XZ3－4－10 返回目录 针对训练 4.如图XZ3－4－11，在等边三角形ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值. 图XZ3－4－11 返回目录 解：如答图XZ3－4－4，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作O