四川省成都市石室中学2022-2023学年高二上学期理科数学第十周周考试题

石室中学高2024届高二上期第十周数学周考 理 科 一、单选题（每题5分） 1．是直线：与：平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．过点的直线被圆截得的线段长最短时，直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 4．长轴长为，焦点坐标为，的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 5．若x，y满足约束条件则的最大值是（     ） A． B．1 C．2 D．3 6. 已知椭圆，过左焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，（点A在x轴上方），若，则直线的斜率的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆上存在点，使（为原点）成立，，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 10．已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 11．圆由于其完美的对称性常被称为“完美曲线”，其实数学中还有许多形状优美的曲线，例如曲线，如图所示．给出下列三个结论： ①曲线所围成的“星形”区域的面积小于2 ②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ③曲线上任意一点到原点的距离的最小值为 所有正确结论的序号是（    ） A． ① B．② C．①② D．①②③ 12.已知,分别为椭圆（）的左、右焦点,过且与圆相切的直线交椭圆于点,且,则椭圆的离心率（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分） 13．已知，，若是的充分条件，则的取值范围为______. 14． 点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是___________. 15． 在三棱锥中，，二面角的大小为，在侧面内(含边界)有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为__________． 16． 若实数，，，满足，则的最小值为______. 三、解答题（每题10分） 17.已知命题，命题. （Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围； （Ⅱ）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐角的余弦值． 19.已知椭圆经过点，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程． 20.如图，为圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点． （Ⅰ）求动点的轨迹方程； （Ⅱ）记动点的轨迹为曲线 ，设圆的切线交曲线于两点，求的最大值． 参考答案 ACDBC ABBDC DD 17． (1) (2) 18.【解析】（1）取PB的中点M，连接， ∵，∴， 又平面平面PBC，AM在平面PAB中，平面平面，∴平面PBC． 而平面PBC，∴，又，∴， 又∵，，∴平面PAB， 又∵平面PAD，∴平面平面. （2）取PC中点N，连MN，DN，则，， 又，，所以，， 所以四边形AMND是平行四边形，则． 又平面PBC．∴平面PBC， 则是PD与平面PBC所成的角，， 又，则， 在中，，所以是等边三角形． 取的中点O，取中点Q，连接 以O为原点，分别以OA、OQ、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图， 所以，，，，（7分） 所以，，，， 设平面PCD的法向量为， 由得，令，则，，所以平面PCD的一个法向量为． 同理，设平面BPD的法向量为， 由得，令，则，，所以平面BPD的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19．(1) (2)或 （1）设椭圆C的焦距，则 又经过点(，)，， 因此，椭圆C的方程为 （2） ①当直线斜率为0时，与椭圆交于，而， 此时，故不符合题意． ②当直线斜率不为0时，的方程为，设点， 将直线l的方程代入椭圆方程，并化简得． 解得或 由韦达定理得 ，同理可得． 所以 即． 解得：符合题意 因此，直线l的方程为或 20.（Ⅰ）因为， 所以动点的轨迹为椭圆， ∴，∴， ∴动点的轨迹方程为； （Ⅱ）①当切线垂直坐标轴时，； ②当切线不垂直坐标轴时，设切线的方程：，点，由