专题02 利用正、余弦定理解三角形（判断三角形形状等）（含解析）-2024年高考数学重点专题突破（解三角形篇，新高考专用）

专题02 利用正、余弦定理解三角形 （判断三角形形状等） （1） 角的变换 在△ABC中，A+B+C=π，即sin（A＋B）＝sin C；cos（A＋B）＝－cos C；tan（A＋B）＝－tanC； ； （2） 判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点 （3） ①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形 ②sinA=cosB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形 ③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形 ④cos2A=cos2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形 ⑤⇒⇒△ABC为直角三角形 ⑥⇒ 或⇒ ⇒△ABC为钝角三角形 或⇒ ⑦⇒ 且⇒ ⇒△ABC为锐角三角形 且⇒ 题型一、判断三角形形状 例1. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A． 等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形. 故选：D 例2. 中，分别是角的对边，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．直角或钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【详解】由得， 即， 因为，所以，则， ，， ，， 又，所以，，所以角为钝角，为钝角三角形. 故选：B. 题型二、利用基本不等式求范围 例3. 在中，分别为的对边，. (1)证明； (2)求的取值范围. 【答案】证明如下； 【解析】（1）因为， 所以由正余弦定理得，， 化简得，； （2）由（1）得，， 因为， 所以，当且仅当时取“=”， 故，又因为， 所以，故，所以， 所以的取值范围为. 例4. 中，角的对边分别是，且满足． (1)求； (2)若在上，，且，求的最大值． 【答案】； 【解析】（1）由可得， 根据正弦定理可得，， 根据余弦定理可得，， 又，故. （2）由（1）知，， 根据基本不等式，，故， 于是，当时取得等号， 另一方面，， 故的最大值为    1．（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列条件一定能使是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2. 在中，角所对的边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选题）中，分别为内角的对边，则（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则 4．（多选题）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（多选题）在中，角所对的边分别为.则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，，，的面积为3 6. （多选题）对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A．若，则△ABC为等腰三角形 B．若，，，则符合条件的有两个 C．若，则△ABC为等腰直角三角形 D．若，则△ABC是钝角三角形 7．已知满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别是，则角的正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．设的内角所对的边分别为，已知，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最大值为 10. 在中，角所对的边分别为，且满足. (1) 求角的大小； (2) 若，求面积的最大值. 11. 已知中，． (1) 求A的大小； (2) 若D是边AB的中点，且，求的取值范围， 12．如图，在平面四边形中，，，. (1) 求； (2) 若，，，四点共圆，求四边形面积的最大值. 13．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1) 求的值； (2) 若，求中边上的高的最大值． 1．【答案】ABD 【解析】对于A：因为，即， 即，即， 又，所以，则，即是直角三角形，故A正确； 对于B：因为， 由正弦定理可得，即， 所以，又，所以，又， 所以，即是直角三角形，故B正确； 对于C：当，时，满足， 显然不是直角三角形，故C错误； 对于D：因为， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以， 即，即， 所以或，则或， 所以是直角三角形，故D正确； 故选：ABD 2．【答案】B 【解析】在中，若，由正弦定理， 得，所以，所以，所以为等边三角形， 若命题成立，则是等腰三角形，即命题成立； 反之，为等腰三角形，不一定为等边三角形， 如在中，，，则不成立， 所以是：是