第1章 第4节 基本不等式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第四节　基本不等式 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． 1．(苏教版必修①P63·T8改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C　9a＋≥2＝6.当且仅当9a＝，即a＝时等号成立． 2．(人教B版必修①P77·例1改编)若x<0，则x＋(　 ) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 解析：选D　因为x<0，则－x＞0，所以－＝(－x)＋≥2＝2，所以x＋≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立．故选D. 3．(北师大版必修①P31·T7改编)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　 ) A．4 B． C. D．2 解析：选B　依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号．所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为. 4．(多选)若x≥y，则下列不等式正确的是(　 ) A．3x≥3y B．≥ C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 解析：选AD　由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确；当0＞x≥y时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 5．(人教A版必修①P48·T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． 解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 答案： 考法一　利用基本不等式求最值 方法1　拼凑法 [例1]　已知0<x<，则函数y＝x(1－2x)的最大值是(　 ) A. B． C. D． [解析]　∵0<x<，∴1－2x>0，∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，因此，函数y＝x(1－2x)的最大值为. [答案]　C [方法技巧] 拼凑法求最值的关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．　　 方法2　常数代换法 [例2]　(1)已知实数x>0，y>0满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值为(　 ) A．8 B．9 C．7 D．10 (2)若0<x<1，则＋的最小值为(　 ) A．15 B．16 C．17 D．18 [解析]　(1)由题设，＋＝1，所以x＋4y＝(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝3，y＝时等号成立，所以x＋4y的最小值为9. (2)∵0<x<1，∴1－x>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝时等号成立，故选B. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧] 常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．　　 方法3　消元法 [例3]　已知正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则3x2＋4y2的最小值为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　根据题意可得2xy＝1－x2，由x>0，所以y＝＝－，由y＝－>0，可得x2<1，即0<x<1,3x2＋4y2＝3x2＋42＝4x2＋－2≥2－2＝2，当且仅当4x2＝，即x＝时取等号，所以