第1章 第6节 一元二次不等式恒(能)成立问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第六节　一元二次不等式恒(能)成立问题　　　　　　 考法一　在R上的恒成立问题 [典例]　(1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，则a的取值范围为(　 ) A．(－∞，－4) B．(－∞，－4)∪{0} C．(－∞，－4] D．(－4,0) (2)已知关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为_______． [解析]　(1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，当a＝0时，显然不恒成立，所以解得a<－4. (2)当m＝0时，不等式1>0恒成立，所以m＝0符合题意； 当m≠0时，若关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则 解得0<m<4.综上所述，m的取值范围为[0,4)． [答案]　(1)A　(2)[0,4) [方法技巧] 不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或　　 [针对训练] 1．已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是(　 ) A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 　 B．[－1,3] C．(－∞，1]∪[3，＋∞) 　 D．[－3,1] 解析：选D　关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1.故选D. 2．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　 ) A．[－1,2) B．(－1,2] C．(－2,1) D．[－1,2] 解析：选B　关于x的不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R.当a－2＝0时，即当a＝2时，则有－12<0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，则有解得－1<a<2. 综上所述，实数a的取值范围是(－1,2]． 考法二　在给定区间上的恒成立问题 [典例]　(1)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值范围是(　 ) A. B．(－∞，－1) C. D．(－∞，－1] (2)关于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在区间[－2,0]上恒成立，则实数a的取值范围是________． [解析]　(1)f(x)＝4ax2＋4x－1<0，即4ax2<－4x＋1，当x＝0时，不等式恒成立，a∈R；当x≠0时，x2>0，则4a<min，令t＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则y＝－4t＋t2＝(t－2)2－4∈[－4，＋∞)，即4a<－4，解得a<－1. (2)由题得a≥＝(x－1)＋＋2，因为－2≤x≤0，则－3≤x－1≤－1，所以(x－1)＋＋2＝－＋2≤－2＋2＝－2. 当且仅当x＝－1时等号成立．所以a≥－2. [答案]　(1)B　(2)[－2，＋∞) [方法技巧] 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，解决的方法有两种： (1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题； (2)结合图象进行分类讨论，转为根的分布问题．　　 [针对训练] 1．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，则有(　 ) A．m≤－4 B．m≥－3 C．－3≤m<0 D．－4≤m<0 解析：选A　因为关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，所以m≤(x2－4x)min，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈(0,3]，所以当x＝2时，y＝x2－4x取得最小值－4，所以m≤－4. 2．不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的最小值为(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选B　不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，等价于x2＋1≥－ax，即－a≤x＋对于一切x∈成立，∵y＝x＋在上单调递减，∴ymin＝＋2＝. ∴－a≤，a≥－，即a的最小值是－. 考法三　给定参数范围的恒成立问题 [典例]　若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________． [解析]　设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则即解得<x<，故x的取值范围为. [答案]　 [方法技巧] 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题．　　 [针对训练] 已知a∈[－1,2]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________． 解析：设f(a)＝(x－2)·a＋x2－4x＋4，则即解得x<0或x>3. 答案：(－∞，0)∪(3，＋∞) 考法四　不等式能成立或有解问题