第3章 函数的概念与性质 单元复习归纳-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 单元复习归纳 口01知识网巧构建。 定义域一自变量x的取值范围 三要素 对应关系 值域一函数值构成的集合 解析法一y=f(x),x∈D(D为定义域) 表示法 列表法 图象法 增函数-x1>x2→f(x1)>f(x2) 一单调性 减函数x1>x2→f(x1)<f(x2) 奇函数一f(一x)=一f(x) 基本性质 奇偶性 偶函数一f(一x)=f(x) 函数 最大值 最值一 一最小值 定义：y=x(a∈R) 幂函数 五个具体幂函数的图象和性质 幂函数的图象和性质 分段函数的应用 一次函数的应用 函数的应用 一二次函数的应用 反比例函数的应用 幂函数的应用 02一微专题妙总结。 微专题1特殊函数模型的应用 b(a>0,b>0)的函数等. 特殊函数是研究函数图象、性质的载体， 一次函数、二次函数、反比例函数在初中 本章涉及的特殊函数主要有一次函数、二次函 就学过，它们的图象和性质比较明确，在高中 数、反比例函数以及由这些函数衍生的含绝对 阶段要特别注意函数在特定区间上的图象和 值的函数、分段函数以及形如y=ax十白(c大 cx+d 性质.含绝对值的函数往往可通过去掉绝对值 0,a≠0)和y=az十b(a>0,b>0)及y=ax 符号化为分段函数或通过图象的对称变换进 行处理 124 第三章函数的概念与性质么出型 下面以这些特殊函数模型为载体，就函数 22-61-8,1<2 的某些重要性质的应用加以探讨. 253 1.二次函数在闭区间上的值域或最值问题 综上可得，g(t)= 二次函数在闭区间上的最值由它的单调 22-10,6>2 性来确定，而它的单调性又由其图象的开口方 向及对称轴的位置来确定.当所给的区间和二 例②（动轴定区间问题）已知函数f(x) 次函数解析式中都不含参数时，可直接求解； =am+(2a-1Dx-3在区间-是2 上的最 当所给的区间或二次函数解析式中含参数时， 大值为1，求实数a的值. 往往需要进行分类讨论。 解析当a=0时，f(x)=一x一3. 例①（定轴动区间问题）已知f(x)是二 3 次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且 fx)在22上不能取得1，故a≠0， f(x)在区间[一2,4幻上的最大值是28. 则f(x)=a.x2+(2a-1)x-3(a≠0)的图象的 (1)求f(x)的解析式. 1-2a 对称轴为x0=2a (2)设函数f(x)在x∈[t,t+1]上的最小 值为g(t),求g(t)的表达式. ①令f(-)=1, 解析(1)f(x)是二次函数，且f(x)<0的 即0号2a-1-3=1,解得a=9 3 解集是(0,5)， ∴.可设f(x)=ax(x-5)(a>0), 此时画数f(x)图象的对称轴为= 0 :f(x)在区间[一2,4]上的最大值为f(一2)= [32 14a=28,故a=2, .f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 因为a=-10<0, 3 2②》1知了)=2c-》°-受的对稀销为 所以f(x0)最大，不符合题意」 2 ②令f(2)=1,即4a+2(2a-1)-3=1, 上一及（计论对参输江 5 2 与闭区间[t,t+1]的相对 解件a=, 位置)】 此时函数∫(x)图象的对称轴为。=一号 ①当+1<号即1<号时，fx)在[，+上单 [-2 调递减， ∴.f(x)的最小值g(t)=f(t+1)=2t2-6t-8. 因为a= 4>0,且a0距右端点2较远， ②当>时，f)在[十1门止单调造增。 所以f(2)最大，符合题意 .f(x)的最小值g(t)=f(t)=2t2-10t. @◆r-1.中a22尸-2 -4= ③当号+1即≤≤号时，12)在对称 0,则4a2+12a+1=0, -3-2√2 轴处取得最小值， 解得a1=一3+22 2 a2=- 2 fx)的最小值ge)=f(）=2罗 将a1,a2分别代入x0= 1-2a 2 2a 125 重难点手册高中数学必修第一册（上）尺UA(浙江专用) 当a=a1时，得xo=-4一2√2 调递增，求实数a的取值范围， 解析(1)设x<0,则一x>0, 当a=a:时，得=2-4∈[2此时 .f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2ax. a<0,f(xo)最大，符合题意， 又f(x)为奇函数， 综上所述，a三或a三3222 ∴.f(-x)=-f(x), 2 ∴.当x<0时，f(x)=x2+mx=x2+2x, 记方法 .m=2 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n] (2)要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，结合 上的最值问题的一般解法： a-2>-1, f(x)的图象（图象略）知 (1)当对称轴在[m,n]内时，在顶，点处取得一 a-2≤1， 个最值，另一个最值在距对称轴较远的端，点处取 .1a3, 得，即它是f(m)与f(n)中的一个，有时需讨论对 故实数a的取值范围是(1,3]. 称轴在闭区间中点的左侧或右侧或过中点的情况. 3.“双曲”函数的图象 (2)当对称轴不在[m,n]内时，最值在两个端 点处取得，即f(m)与f(n). 1)对形如y白c≠0，a≠0)的园 2.分段函数的应用 ax+b a(cx+d)-adb 分段函数作为一个特殊的函数模型，在函 数，因为y= cx+d cx+d 数中占有重要的地位，是高考的热点内容.分 ad b 段函数由于表达式复杂，涉及的知识点多，往 c2 c ,即函数式y=ax十b c≠0，a≠ 往是学生畏惧的题型，也是学生的薄弱点.对 cx+d 分段函数要注意把握以下问题的处理方法： (1)分段函数的画图、求分段函数的单调 0)通过分离常数法可转化成y=m十 (t卡 x+n 区间、求分段函数的值域或最值、求分段函数 的解析式等，这些题的解法均可用四个字概 0)的形式，故它的图象可由反比例函数y= 括—一分段处理， (t≠0)的图象通过平移得到，其形状与反比例 (2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性 函数图象的形状（双曲线）一样，故称为“双曲” 判断，要严格按分段函数的含义及奇偶性的定 函数. 义来处理， (3)对涉及分段函数的综合问题要灵活把 例日国出陈数y一背的图象，号出质 握，注意与有关知识的结合 数的单调区间，并求出该函数在x∈[一1,2]上 -x2十2x,x>0, 的值域. 例3已知函数f(x)=0,x=0, 点拨用分离常数法将原函数转化为反比例函 x24mx;x<0 数类型 是奇函数 解标y=3-2g=（6-2）-3--2- 3 x-3 x-3 x一3 (1)求实数m的值. (2)若函数f(x)在区间[一1，a一2]上单 设)=-兰则y-=f-》-2根据 126 第三章函数的概念与性质》么型 平移变换的规则，将函数f(x)=一3的图象先向右 平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，即得 函数y-号的因象，加国所示。 例固已知关于x的不等式3x十x-4 X23 m2一4m在x≥2上恒成立，则实数m的取值 范围是 解祝令f(x)=3红+一4(c≥2)，即要求 由图象知，其单调递增区间是（一∞，3）和(3， 十∞). f(x)的最小值： 由于函数在[一1,2]上单调递增，且f(一1)= fx)30=4-3x-+1, 子f2)=1,放其值城是[，1] “y=3x与y=一4+1在x≥2上为增函数， (2)对形如fx)=ax一之(a>0,b>0)的 f)=3江兰十1在x≥2上为增函数， 函数，我们用研究函数性质的基本方法来探究 ∴fx)m=f2)=6-号+1=5， 它的性质，从而作出f(x)的图象 ①f(x)的定义域为（一∞，0）U(0, .m2-4m≤5，.m2-4m-5≤0， .(m-5)(m+1)≤0，.-1≤m≤5. +e),且-x)=-ar+-(ar2） 答案-1≤m≤5. -f(x), 金翻①月f)=ax兰a>0,b>0)》的￥ .f(x)为奇函数，图象关于原点对称. 调区间求最值时，要注意定义域，∫(x)有两个同类单调 ②：y=ax(a>0)与y=-b(6>0)在 区间，但在整个定义域内不单调. (0,十∞)上都为增函数， (2)f(x)=ax-名可化为f(e)=a-b,所以 f(x)=az-b在(0，十oo)上为增函数. f(x)=ax-6(a>0,b>0)与后面的“对勾”函教常 x 又.f(x)为奇函数， 用来解决求解形知y=A+B十(aA≠O)或y ax+b ∴.f(x)在(-∞，0)及(0，十∞)上都为增 函数 Ar2十Bx+CAm≠0)这类函教最值的问题， mx2+nxte ③由fx)=0得ar=名，x=±佰 4.“对勾”函数的性质 我们常见到形如f(r)=ax十2(a>0,b>0) '.f(x)的图象与x轴的交点分别为 (-语o悟 的函数，下面我们来探究它的单调性、奇偶性 及图象 由以上性质知f(x)的图象如图所示 (1)不难看出它的奇偶性，因为函数的定 127 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 义域为(-∞，0)U(0,十∞)，且有f(-x)= (x≥2)在[2，十∞)上单调递增， ax十2=一f(x),所以fx)为奇函数 b .f(x)≥3， .y= 个y - ②函数c)在(-o和o,)上 x+2+1 ≤4，且y>0. 单调遥减，在(-，一√)不和（语，十）上 故所家函数的值城为0，， 点评利用“对勾”函数的性质解决问题时要注 单调递增， 意以下两，点：一是要记准区间的端点值及区间的单调 (3)图象如图所示. 性；二是要注意对解析式形式上的转化，并注意转化 后函数的定义域 =ax 5.类周期函数和倍增函数 (1)类周期函数 若y=f(x)满足f(x十m)=f(x)或 f(x)=f(x一m),即y=f(x)的横坐标每增 这个函数的图象形如两个对勾，因此，我 加m个单位长度，函数值扩大k倍，则此函数 们称它为“对勾”函数（或称为“耐克”函数），利 称为周期为m的类周期函数（如图）： 用这个函数我们可以解决一些函数的单调性、 k 最值与值域等问题， 例6求下列函数的值域： kyo (1)y= x2+5 -m O m 2m 3m x x2+4 (2)倍增函数 (2)y+r+2x≥2》. 若函数y=f(x)满足f(mx)=kf(x)或 点拨先将原函数转化为“对勾”函数的形式再 fu)=f(赁)，即y=f(x)的横坐标每扩大 求其值域 m倍，函数值扩大倍，则此函数称为倍增函 解腕(1)：y=红十4)+中1-V十4+ x2+4 数（如图）. 1 V+' 令=V+4,则>2，且y=1+1 ky :y=1十上在[2，十0)上单调递增， O 1 m m m 例☑(1)已知定义域为R的函数f(x)满 15 y≥2+2=2 足f(x+1)=3f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)= 故所求函数的值域为 to) 4x(x-1),则当x∈[-2，-1)时，f(x)的最 小值为( (2).y= +2+1 (x≥2)，而函数f(r)=x十2 A.si 128 第三章函款的概念与性质么 c 微专题2函数性质的综合应用 函数的单调性是函数的重要性质，对于某 4-|4x-81,1≤x≤3， 些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间 (2)已知函数f(x) ,x>3 的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而 若函数y=f(x)一kx的图象与x轴有4个交 达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证 点，则实数及的取值范围为 明不等式、求值域、求最值、研究方程的根等方 面应用非常广泛.而奇偶性是函数的又一重要 解析(1)由题意得f(1)=0,f(0十1)= 性质，利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的 3f(0),即f(0)=0. 当x∈[0,1]时，f(x)=4x(x-1). 范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论， 由f(x十1)=3f(x)可作出f(x)在[-2，-1] 例⑧设f(x)是定义在R上的奇函数，且 和[-1,0]上的图象（如图1）. 当x≥0时，f(x)=x2,若对任意x∈[a,a十2]， y 不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的 取值范围是 解析当x≥0时，f(x)=x2, 图 ∴此时函数f(x)单调递增。 由图象知当x∈[一2，一1]时，f(x)的最小值为 ,·f(x)是定义在R上的奇函数， 一9故选C .函数f(x)在R上单调递增 当x<0时，f(x)=-x2, (2)当1≤x≤3时，f(x)=4-|4x-8|= 若对任意x∈[a,a十2]，不等式f(x十a)≥ |12-4x,2x3, 2f(x)恒成立. 4x-4,1≤x<2. 2f(x)=f(W2x), 当x>3时，fx)=3f(写)， ∴.f(x十a)≥f(W2x)恒成立， 1 则x十a≥√2x恒成立， f(3x)=2f(x)x≥1， 即a≥-x十√2x=(W2-1)x恒成立. ∴.f(x)的部分图象如图2所示. x∈[a,a+2], .[(W2-1)x]mx=(W2-1)(a十2)， 即a≥(2-1)(a+2),解得a≥√2， O123 18 27 图2 即实数a的取值范围是[√2，十o∞). y=f(x)一kx的图象与x轴有4个交点等价于 [答案[√2，十o∞). 图象y=kx与y=f(x)有4个交点， 点评本题容易出现按x十a与x的范围不同 .当x=6时，6k<2,当x=18时，18k>1, 代入f(x)对应的解析式去掉外衣“f”,这样解答很烦 <号 琐.此题应根据f(x)的图象得到f(x)的单调性，再 把2f(x)转化为f(W2x),从而把f(x十a)≥2f(x) 蜜奥aC2(s) 转化为f(A)≥f(B)的形式，再利用单调性脱去外衣 129 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) “f”,从而转化为含参不等式的恒成立问题， 1 1 -a.x2- x =a(x-)+4=(x1-x,) xix2 例日已知函数f)=ax+之(x70,常 _x1十x2 a xx 数a∈R) ,x1-x2>0,f(x)在[3，十∞)上为增函数， (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由. (2)若函数f(x)在x∈[3，十∞)上为增 a>1十x2 xixz 函数，求a的取值范围. 即a>1 1在[3，十∞)上恒成立， 解析(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原 x1x号xx2 点对称 x1>x2≥3， 当a=0,fx)=,对任毫xE(-0,0U 1<111 x13’x23' o,o-0-fa 1 1 十1< xix xixz 27故a≥2 71 .f(x)为偶函数. 故a的取值范围为 房+ 当a≠0时，fx)-ax十a≠0x≠0)，取 点评啊(1)函数奇偶性的判断要严格按定义来 x=±1，得f(-1)+f(1)=2≠0，f(-1)-f(1)= 处理，一般情况下，含参数的要注意对参数进行分类 一2a≠0， 讨论. 函数f(x)是非奇非偶函数， (2)本题在利用单调性的定义确定参数α的范围 综上所述，当a=0时，f(x)是偶函数；当a≠0 时，f(x)是非奇非偶函数. 十名品共实号的确定用到7 时，用到了1 (2)任取x1>x2≥3，则f(x1)一f(x2)=ax1十 x1,x2的临界取值，即都取最小值时所求得的结果 130