第1章 第5节 二次函数与一元二次方程、不等式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3．分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 1．(人教B版必修①P75·T1改编)已知集合A＝{0,1,2,4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　 ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,4} C．{0,1} D．{2,4} 解析：选D　由题意得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，∴A∩B＝{2,4}，故选D. 2．(苏教版必修①P69·T9改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　 ) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：选B　不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 3．不等式≤1的解集是________． 解析：由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}． 答案：{x|x<－1或x≥1} 4．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________． 解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系得则a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14. 答案：－14 考法一　不含参一元二次不等式的解法(自主练通) 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　 ) A. B． C．(－∞，－1)∪ D．∪(1，＋∞) 解析：选C　－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或x>. 2．不等式≤1的解集为________． 解析：由不等式≤1，可得－1＝≤0，结合分式不等式的解法，可得－2<x≤3，即不等式≤1的解集为(－2,3]． 答案：(－2,3] 3．不等式≥0的解集为________． 解析：原不等式等价于或解得x≥1或－3≤x<－1. 答案：[－3，－1)∪[1，＋∞) 4．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a的取值范围为________． 解析：∵原不等式可化为<0， 即(x－1)·[(a－1)x＋1]<0， ∴由题意得即a＝. 答案： [一“点”就过]　解一元二次不等式的4个步骤 考法二　含参一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0. [解]　∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0， 令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]， 则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1. ①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2； ②当2a>a＋1，即a>1时，解得x<a＋1或x>2a； ③当2a<a＋1，即a<1时，解得x<2a或x>a＋1. 综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x<a＋1或x>2a}． [方法技巧] 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式． (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．