第2章 第2节 函数的单调性与最大(小)值（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　函数的单调性与最大(小)值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，此时称f(x)在区间I上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，此时称f(x)在区间I上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有f(x)≤M； ∃x0∈D，使得f(x0)＝M ∀x∈D，都有f(x)≥M； ∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1．与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增． ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减． (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)． (3)y＝ax＋(a>0，b>0)的单调递增区间为和，单调递减区间为和. (4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 2．掌握以下几个注意点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 1．(人教A版必修①P86·T3改编)(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　 ) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝－x2－2x D．y＝ex 答案：AC 2．(苏教版必修①P121·T2改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　 ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 3．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　由题意得解得－1≤x<. 4．(人教B版必修①P108·T5改编)函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为________，最小值为________． 解析：f(x)在[1,5]上是减函数，所以最大值为f(1)＝＝3，最小值为f(5)＝＝. 答案：3　 5．(北师大版必修①P64·T2改编)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________． 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞) 考法一　确定函数的单调性(区间) 角度1　求具体函数的单调区间 [例1]　函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，则区间A为(　 ) A．(－∞，0] B． C．[0，＋∞) D． [解析]　y＝|x|(1－x) ＝ ＝ 作出函数的草图如图所示． 由图易知函数在上单调递增． [答案]　B 角度2　证明函数的单调性 [例2]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [解]　法一：定义法 设－1<x1<x2<1，又f(x)＝a＝a，所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法 f′(x)＝＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． [方法技巧]　判断函数的单调性或单调区间的方法 定义法 一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若函数f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定函数的单调区间 导