第2章 第4节 第2课时 函数性质的综合应用(二)（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

考法一　函数的单调性与对称性相结合 [典例]　已知函数f(x)的定义域为R，f(1－x)＝f(x)，且f(x)在上单调递减，则关于x的不等式f(x＋1)>f(2－3x)的解集为(　 ) A．(－∞，－1)∪ B. C.∪(1，＋∞) D. [解析]　因为f(1－x)＝f(x)，f＝f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在上单调递减，所以f(x)在上单调递增，结合草图可知，要使f(x＋1)>f(2－3x)，则x＋1到的距离小于2－3x到的距离，故不等式f(x＋1)>f(2－3x)，等价于<，两边同时平方后整理得4x2－5x＋1>0，解得x>1或x<. [答案]　C [方法技巧] 函数的对称性与单调性相结合的题目主要是利用对称性判断函数在区间的单调性，在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反．在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同．　　 [针对训练] 1．已知定义域为R的函数f(x)满足f(1－x)＝－f(7＋x)，且f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，如果x1<4<x2，且x1＋x2>8，则f(x1)＋f(x2)的值(　 ) A．可正可负 B．恒为正 C．可能为0 D．恒为负 解析：选B　由题意可得f(7＋x)＋f(1－x)＝0，故函数f(x)的图象关于点(4,0)对称，因为函数f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在(－∞，4]上也为增函数，因为x1<4<x2且x1＋x2>8，则8－x2<x1<4，所以，f(x1)＋f(x2)＝f(x1)－f(8－x2)>0. 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则(　 ) A．f(0.20.3)<f(41.1)<f(log30.5) B．f(0.20.3)<f(log30.5)<f(41.1) C．f(41.1)<f(0.20.3)<f(log30.5) D．f(log30.5)<f(0.20.3)<f(41.1) 解析：选B　依题意可得，f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为0.20.3∈(0,1)，log30.5＝－log32∈(－1,0)，41.1∈(4,8)，则|0.20.3－1|<|log30.5－1|<|41.1－1|，又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(0.20.3)<f(log30.5)<f(41.1)． [典例]　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　 ) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 [解析]　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)．在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)　①，y＝f(x)为偶函数．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2　②，所以y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由①②可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D. [答案]　D [方法技巧] 对称性的3个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称．　　 [针对训练] 1．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(4－x)＝－f(x)，则f(x)的周期为(　 ) A．－4 B．2 C．4 D．6 解析：选C　∵f(4－x)＝－f(x)，∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，∴f(－x)＝－f(x＋4)， 又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)．∴T＝4. 2．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x