第2章 第7节 指数函数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第七节　指数函数 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1．指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1 在R上为增函数 在R上为减函数 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． (4)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 1．(人教A版必修①P115·T2改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1,2)，那么这个函数也必定经过点(　 ) A. B． C．(1,2) D． 答案：D 2．(苏教版必修①P165·T5改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　 ) A．2 B．3 C．4 D． 答案：A 3．函数y＝2x＋1的图象是(　 ) 答案：A 4．(北师大版必修①P88·例3改编)已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则(　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 答案：B 考法一　指数函数的图象及其应用 [典例]　(1)(2022·黄山二模)函数y＝的图象的大致形状是(　 ) (2)若直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． [解析]　(1)∵y＝＝ ∴根据指数函数图象即可判断选项C符合． (2)y＝|2x－1|＝如图，作出其图象，数形结合可知，a∈(0,1)． [答案]　(1)C　(2)(0,1) [方法技巧] 应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．　　 [针对训练] 1．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　 ) 解析：选D　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D. 2．(2023·临沂期末)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝2b，则下列不等式可能成立的是(　 ) A．0<a<b B．0<b<a C．a<b<0 D．b<a<0 解析：选AD　作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象，如图，当3a＝2b>1时，根据图象得0<a<b，故A选项正确；当3a＝2b<1时，根据图象得b<a<0，故D选项正确．故选A、D. 3．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围为________． 解析：y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示， 则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2. 故m的取值范围为(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 考法二　指数函数的性质及其应用 角度1　比较指数式的大小 [例1]　(1)已知a＝2 0210.2，b＝0.22 021，c＝log2 0210.2，则(　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b [解析]　(1)∵a＝2 0210.2>2 0210＝1,0<b＝0.22 021<0.20＝1，c＝log2 0210.2<log2 0211＝0，因此，a>b>c. [答案]　(1)A　(2)B [方法技巧]　比较指数式大小的常用方法 单调性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系 角度2　解指数不等式 [例2]　不等式>的解集为(　 ) A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞) [解析]　当x>