第2章 第6节 指数与对数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第六节　指数与对数 1．根式 (1)根式的概念 如果xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)a的n次方根的表示 xn＝a⇒ 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂的运算性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q) (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q) (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) 3．对数式 概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 基本性质 loga1＝0，logaa＝1，logaax＝x，其中a>0，且a≠1 4．对数的运算 运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式 alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． 1．(人教A版必修①P109·T1改编)下列运算中正确的是(　 ) A.＝2－π B．a＝ C. D．(x3－)3＋＝x9 2．(人教A版必修①P127·T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　 ) A. B． C．2a＋b D．2b＋a 解析：选A　log1210＝＝＝. 3．(人教A版必修①P126·T3(2)改编)计算log23·log34＋3log34＝(　 ) A．2 B．4 C．5 D．6 解析：选D　log23·log34＋3log34＝log23·＋4＝2＋4＝6. 4．计算：π0＋2－2×＝________. 答案： 考法一　指数幂的运算(自主练通) 1．(多选)下列运算正确的是(　 ) 2．计算：27－－2＋256－3－1＋(－1)0＝________. 解析：27－－2＋256－3－1＋(－1)0＝(33)－(－7)2＋(44)－＋1＝－49＋64－＋1＝16. 答案：16 3．已知a2x＝5，则＝________. 解析：＝＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋＝. 答案： [一“点”就过] (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．　　 考法二　对数式的化简与求值(自主练通) 1．(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　 ) A．25 B．5 C. D． 解析：选C　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝＝，故选C. 2．计算： log525＋lg＋ln＝________. 解析：log525＋lg＋ln＝log552＋lg10－2＋ln e＝2－2＋＝. 答案： 3．设5a＝2b＝10，则＋＝________，＋＋的值为________． 解析：由5a＝2b＝10，得a＝log510，b＝log210，所以＝lg 5，＝lg 2，所以＋＝lg 5＋lg 2＝1，＋＋＝(lg 5)2＋lg 5·lg 2＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. 答案：1　1 4．log381－log98·log23－2log23＋lg＋lg＝________. 解析：原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. 答案：0 [一“点”就过] 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数