第2章 第5节 幂函数与二次函数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第五节　幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)5个常见幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在(0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数，在上是增函数 在上是增函数，在上是减函数 幂函数的图象和性质 1．(人教A版必修①P91·T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　 ) A．64 B．4 C. D． 答案：D 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　 ) 解析：选C　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴x＝－<0，且过原点，所以A、B、D不正确． 3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 解析：x∈[1，a]，根据区间的定义可知a>1.∵函数f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，又函数f(x)在对称轴x＝3左侧单调递减，右侧单调递增，∴1<a≤3. 答案：(1,3] 4．(人教A版必修①P91·T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是_______．(用“<”连接) 解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 答案：c<b<a 考法一　幂函数的图象和性质(自主练通) 1．(多选)幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm2－6在(0，＋∞)上是增函数，则以下说法正确的是(　 ) A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 解析：选ABD　因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm2－6在(0，＋∞)上是增函数，所以解得m＝3，所以f(x)＝x3，所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．故选A、B、D. 2.已知幂函数y＝x(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　 ) A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0 解析：选D　因为函数y＝x的图象关于y轴对称，所以函数y＝x为偶函数，即p为偶数，又函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有<0，所以p<0. 答案： [一“点”就过] (1)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　　 考法二　求二次函数的解析式 [典例]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式． [解]　法一：利用二次函数的一般式 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝