第2章 第8节 对数函数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第八节　对数函数 1.通过实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logaxa>0，且a≠1互为反函数. 1．对数函数的定义 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 y＝logax 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称． (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交． (2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象． (3)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性．因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论． 1．(湘教版必修①P123·T19)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　 ) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 答案：D 2．(苏教版必修①P158·T3改编)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 答案：A 3．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案：(4，－1) 4．(人教A版必修①P140·T1改编)函数y＝的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则需满足解得<x≤1. 答案： 考法一　对数函数的图象及其应用 [典例]　(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　 ) (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　 ) A. B． C．(1，) D．(，2) [解析]　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象(图略)，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A. (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1，故选B. [答案]　(1)A　(2)B [方法技巧] (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体步骤如下：　　 ①对不等式变形，使不等号两边对应两函数fx，gx； ②在同一平面直角坐标系内作出函数y＝fx及函数y＝gx的图象； ③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况. [针对训练] 1．当x∈(0,1)时，不等式x2<loga(x＋1)(其中a>0且a≠1)恒成立，则a的取值范围为(　 ) A. B． C．(1,2) D．(1,2] 解析：选D　作出函数y＝x2与y＝loga(x＋1)的图象如图，要使当x∈(0,1)时，不等式x2＜loga(x＋1)恒成立，则a＞1且loga(1＋1)＝loga2≥1，解得1＜a≤2.∴a的取值范围为(1,2]． 2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c是常数，其中a>0且a≠1)的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述正确的是(　 ) A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1 解析：选D　由题图可以看出0<a<1，logac>0，loga(1＋c)<0，故得0<c<1,0<a<1，故选D. 考法二　对数函数的性质及其应用 角度1　比较大小 [例1]　(2023·淄博一模)若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为(　 ) A．x<y<z B．z<x<y C．y<x<z D．z<y<x