第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　常用逻辑用语 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定. 1．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件； (2)如果q⇒p，则p是q的必要条件； (3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件． 2．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 ∃ 4．全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在量词命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) (1)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”等价于“若p，则q”为真命题． (2)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件． (3)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假． 1．(人教A版必修①P30·例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则(　 ) A．p是真命题 B．綈p：∀x∈R，x＋2>0 C．綈p是真命题 D．綈p：∃x∈R，x＋2>0 答案：CD 2．(人教A版必修①P22·T2(5)改编)设x＞0，y＞0，则“x2>y2”是“x>y”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 3．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的(　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 4．(苏教版必修①P47·T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 5．(人教B版必修①P38·T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 答案：(－∞，3) 考法一　充分、必要条件的判断 [典例]　(1)设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)由x<1且y<1，可得x＋y<2，当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件． (2)由x<1，知x>0.所以p对应的集合为(0，＋∞)，由log2x<0知0<x<1，所以q对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，故p是q的必要不充分条件． [答案]　(1)A　(2)B [方法技巧]　判断充分、必要条件的2种方法 定义法 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 集合法 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 [针对训练] 1．(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos＝cos＝0，故充分性成立；又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)， 而sin＝1或－1，故必要性不成立． 所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A. 2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由